Algebra vectorial curva

Vectores ordinarios

Para generar el conocimiento básico necesario para comprender el álgebra de de los vectores curvos se explicará primeramente las generalidades de los vectores 3D ordinarios.

Vector 3D ordinario

Vector 3D ordinario

Un vector es una cantidad compuesta por un escalar y una dirección.  Por lo general, se utiliza un sistema de coordenadas en cuyo origen se encuentra el observador. Para los vectores ordinarios, se utiliza generalmente las coordenadas cartesianas 3D ordinarias. Un vector 3D ordinario es definido por tres componentes, que corresponden a las proyecciones del vector contra cada uno de los ejes dimensionales. Cada una de las tres componentes es perpendicular entre sí.

El punto de partida se llama origen, el cual corresponde a (0,0,0). La magnitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de el cuadrado del valor de las componentes.

Método de los vectores concurrentes

Método de los vectores concurrentes

La suma de dos vectores puede ser representada graficamente mediante la técnica de los vectores consecutivos. El método consiste en graficar el primer vector partiendo del origen hasta las coordenadas (valores de la componentes) del primer vector, luego se grafica el segundo partiendo de donde terminó el primero, hasta llegar al punto que corresponde a las coordenadas de la suma vectorial de ambos vectores.

El valor del vector resultante de la suma de los dos vectores es igual a la suma de cada una de las componentes comunes de ambos vectores. Es decir:

c= (ax +bx) i + (ay + by) j +  (az + bz) k

La magnitud del vector c del espacio 3D ordinario, sería:

c = ((ax +bx)2 +  (ay + by)2 + (az + bz)2) 0.5

donde c, siempre es un valor positivo.

Vectores unitarios 3D ordinarios

Vectores unitarios 3D ordinarios

La dirección de un vector 3D ordinario puede indicarse utilizando un vector unitario ê, cuya magnitud es una unidad y se determina mediante:

ê = (ex i + ey j + ez k)/e

Observe en la figura como los vectores unitarios asociada a cada vector original, poseen la misma inclinación que los vectores originales, pues su misión es indicar la inclinación respecto a cada uno de los ejes del sistema coordenado 3d ordinario.

Proyección vector 3D ordinario

Proyección vector 3D ordinario

Las proyecciones de los vectores están asociadas a una operación denominada producto escalar. El producto escalar 3D ordinario puede utilizarse para determinar la proyección de un vector 3D ordinario sobre otro vector 3D ordinario, un eje dimensional ordinario o plano 2D ordinario.

La graficación de la proyección de un vector 3D ordinario sobre otro, se indica con una sobra sobre el segundo vector, cuyo largo es determinado utilizando el  producto escalar. El tamaño de proyección se determina con:

proya sobre c = ac ÷ c , donde a c = axcx + ay cy + az cz.

Producto vectorial 3D ordinario

Producto vectorial 3D ordinario

La definición de planos en los espacios 3D ordinarios, es realizada utilizando la operación vectorial denominada producto vectorial 3D ordinaria.

Observe como sumando dos vectores 3D ordinarios utilizando el método gráfico del paralelogramo, se define una sección de un plano, el cual queda definido por un vector que perpendicular al mismo, el cual se calcula utilizando el producto vectorial de los vectores que conforman el paralelogramo.

Utilizando estos conceptos se pueden generar figuras como las mostradas en el documento  hipergeometrías 3d.

Vectores 3D curvos

Una vez terminado ese paseo sobre los conceptos clásicos del álgebra vectorial 3d ordinaria, se puede iniciar la introducción de una nueva clase de vectores muy especializada. Para introducir los nuevos conceptos de los vectores curvo n dimensionales, se iniciará con la familia de los vectores 3D curvos.

Ejes hiperdimensionales 3D curvo

Ejes hiperdimensionales 3D curvo

Para dibujar un vector curvo es necesario definir una serie de ejes que partan de un referencia denominado origen. Para el caso 3D curvo se pueden utilizar tres aros, que confluyen a un punto común que equivale al origen.

Observe las características de los ejes, son cerrados, definidos con un subíndice “c” para diferenciar de los ejes de los sistemas de coordenadas ordinarios.

No debe creerse que las coordenadas asociadas a estos ejes se enmarcan a un valor finito, por el contrario, el sistema de coordenadas generado con estos ejes ubica valores de las mismas que tienden a infinito.

La replicación de los ejes curvos antes mencionados, genera el conjunto de posiciones posibles de este sistema de coordenadas curvo, que se denomina retículo 3D curvo. Cada punto es definido por 3 coordenadas (Xc,Yc,Zc).

Retículo 3D curvo

Retículo 3D curvo

Es muy probable que si un ser viviera dentro de un retículo curvo, jamás se daría cuenta de ello. Para él los ejes serían rectas en toda posición, mientras que para un observador que se localiza en un hiperespacio dimensionalmente mayor vería que el ser vive en un retículo curvo. El ser que vive dentro verá el retículo de tamaño infinito, pero el que está en el hiperespacio dimensionalmente mayor, vera que ese retículo es finito. Esto equivale a lo que ocurre con una recta y un segmento de recta en la matemática, el que cuenta los puntos de un segmento de recta  sin ver los extremos, contará infinito número de puntos, por lo cual creerá que ese segmento de recta es infinito. independientemente del tamaño del segmento de la recta. Mientras un observador externo al segmento de recta, que observe el segmento de recta completo de una sola vez, indica que esa distancia es finita. Es decir, que un observa que conviva dentro dentro del retículo creería que su mundo es infinito, mientras que un observador proveniente de un sistema dimensional superior, se dará cuenta de inmediato que ese retículo demarca un hiperespacio finito.

Hipervector 3D curvo y sus componentes

Hipervector 3D curvo y sus componentes

Un hipervector 3D curvo, definido por sus componentes (Xc,Yc,Zc). En la figura las componentes se graficaron de color claro, mientras el hipervector de color oscuro. Note que el hipervector parte del origen hasta llegar al punto que definen los vectores curvos consecutivos asociados a sus componentes.

Es importante recordar, que quizás, para un ser del espacio 3D curvo, esas componentes dibujadas como curvas son para él líneas rectas.

Suma de hipervectores 3D curvo

Suma de hipervectores 3D curvo

La suma de dos hipervectores 3D curvos, se realiza con un procedimiento similar al mencionado para los vectores 3D ordinarios.

El hipervector 3D curvo resultante, tendrá las componentes ( axc +bxc, ayc + byc, azc + bzc). La magnitud de este hipervector se calculará utilizando la definición corriente, pero dicha magnitud será válida únicamente dentro del retículo curvo. No olvide, que para las partículas atadas al retículo este es infinito, para las de un sistema dimensional superior es finito.

Hipervector 3D curvo y su hipervector unitario

Hipervector 3D curvo y su hipervector unitario

Al igual que en el sistema de coordenadas 3D ordinario, dentro del retículo 3D curvo se pueden definir direcciones, es decir inclinaciones respecto a los ejes curvos. Desde fuera del retículo curvo, la dirección definida por el vector unitario también es una curva  y debe ser interpretada para cualquier cálculo que se realice.

Analice  con cuidado la figura, pues, el hipervector está de color oscuro y parte del origen, mientras el hipervector unitario está de color claro, también partiendo del origen.

La magnitud del hipervector 3D curvo se determina mediante:

a = ( axc2 + ayc2 + azc2 )0.5.

Proyección de hipervectores 3D curvo

Proyección de hipervectores 3D curvo

La hiperproyección de un  hipervector 3D curvo sobre otro del mismo hiperespacio, se calcula de forma similar al del 3D ordinario, teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente sobre el observador que realiza la medición.

Observe como la proyección del hipervector a se grafica sobre el hipervector b, el cual está representado con un arco de color oscuro, y debido a que el grosor del trazo de la proyección se dibujo más grueso, solamente se ve una parte de él.

El tamaño de la proyección se determina por:

proya sobre b = ab ÷ b , donde a b = axc bxc +  ayc byc + azc bzc.

Dentro del retículo curvo se pueden definir planos, similares a los 3D ordinario. Recuerde que quien observa la curvatura de los ejes puede ser un ser externo al retículo curvo, el cual será el testigo de la curvatura de los ejes.  Dentro del retículo el plano es normal, pero fuera de él posiblemente se observe curvo.

Producto hipervectorial curvo

Producto hipervectorial curvo

En la figura se muestra el hiperplano que definen los hipervectores mediante el método de suma gráfica del paralelogramo.

El hipervector que es perpendicular al hiperplano formado por el hiperparalelogramo, se ha graficado de color verde, describiendo matemáticamente dicho plano. Para facilidad de visualización  se colocó en el centro del vector resultante de la suma de los vectores originalmente involucrados.

Vectores 4D curvos

El imaginarse un mundo (hiperespacio) 4D curvo es todo un reto que quizás muchos no logren vencer, pero si el lector a comprendido la posibilidad de existencia un universo 3D curvo, quizás no le sea tan difícil extender su pensamiento anexando otra dimensión curva.

Sistema de ejes hiperdimensionales 4D curvo

Sistema de ejes hiperdimensionales 4D curvo

Nuevamente, se hace necesario una representación de los hiperdimensionales, bajo los cuales se ubicarán las cuatro coordenadas curvas que definirán cualquier punto dentro de ese mundo curvo tetradimensional.

Observe cuidadosamente como se han colocado los cuatro aros, que convergen en un punto, que equivale al origen del sistema de coordenadas. Los valores de las componentes del tetravector curvo que define cualquier punto basado en los aros, se toman a partir de dicho punto de convergencia de los aros.

Retículo 4d curvo

Retículo 4d curvo

Al replicar el conjunto de aros, se forma un retículo 4d curvo, que contiene el conjunto de  posiciones dentro del mismo que puede ocupar una partícula.

De la figura se denota la infinidad de tetraposiciones que existen en el retículo, por lo cual, un que pertenezca a ese hiperespacio curvo asumirá la posibilidad de un universo infinito. Sin embargo, un observador ubicado en un sistema de dimensionalidad mayor, observará que el hiperespacio anterior es finito.

Note que para un retículo 4D curvo, existen dos hiperespacios 3D curvos ( XcYcZc y XcYcWc)  que comparten planos comunes, de manera que en el plano XcYc, se podrían presentar portales dimensionales.

Hipervector 4D curvo

Hipervector 4D curvo

Un hipervector 4D curvo, se define por cuatro coordenadas, que representan los valores de las componentes  del vector curvo (Xc,Yc,Zc,Wc).

Observe la forma que poseen las componentes del vector, son sectores circulares que se suman consecutivamente.

El hipervector se ha graficado de color oscuro, parte del origen y llega hasta el punto definido por la suma de las componentes curvas del vector.

Hipervector unitario 4D curvo

Hipervector unitario 4D curvo

Al igual que en el caso de los hipervectores 3D curvos, los vectores 4D curvos tienen asociado un vector unitario que indica la dirección del mismo. Esta dirección es de una sola pendiente para un observador ubicado dentro del retículo, pero será cambiante, para un observador que provenga o que tenga la capacidad de visión en un sistema multidimensional superior.

La magnitud de un hipervector 4D se determina por:

a = ( axc2 + ayc2 + azc2 + awc2)0.5.

Un hipervector unitario 4D curvo se determina por:

ê = e /e.

El radio de curvatura de los bucles o lazos definen el grado de deformación que adquieren visualmente los vectores. Si el radio del bucle es mucho menor que los valores de las componentes la deformación del trazo de los vectores será muy notoria.

Con los valores de las componentes curvas del hipervector, se pueden definir todos los puntos de interés dentro del retículo.

Suma de hipervectores 4D curvo

Suma de hipervectores 4D curvo

La suma de hipervectores 4D curvo se realiza similar a cualquier otra suma de vectores o hipervectores, se puede emplear el método suma gráfica basada en vectores consecutivos.

El hipervector resultante de la suma de los hipervectores a y b, sería:

hipervector (a + b)= ((axc +bxc), (ayc +byc), (azc +bzc)).

El significado de la ecuación es el mismo del álgebra vectorial 3D ordinaria para la operación suma vectorial.

Proyección de hipervectores 4D curvo

Proyección de hipervectores 4D curvo

Mediante la operación hipervectorial denominada producto escalar se puede determinar la proyección de un hipervector 4D curvo sobre otro hipervector 4D curvo. La ecuación para determinar la proyección de un hipervector vector sobre otro es:

 proya sobre b = ab ÷ b , donde a b = axc bxc +  ayc byc + azc bzc + awcbwc.

 

Vectores 5D curvos

Si imaginarse un hiperespacio 4D curvo es toda una azaña, el hacerlo para un hiperespacio 5D curvo es toda una odisea y un sueño el lograrlo. La simple curvatura de un eje va más allá de lo que algunas personas pueden comprender, pero el imaginarse como cinco ejes curvos cerrados (aros) que pasan por un mismo punto (origen) generen un  infinito número de posiciones en un espacio finito (retículo), es una de las proesas más interesantes para cualquier cualquier físico o matemático. Pues, al generar el hiperespacio 5D curvo, nace un conjunto infinito de figuras que se pueden analizar generando información importante para entender la formación a partir de modelos simplificados de universos, multiversos, burbujas, etc.

Hiperejes 5D curvo

Hiperejes 5D curvo

Un sistema coordenado 5D curvo, está formado por cinco aros que convergen en un mismo punto, el cual será el punto de referencia para las coordenadas asociadas al hiperespacio donde existe de dicho sistema. Al analizar las combinatorias de ejes, se nota que existen tres hiperespacios tridimensionales cursos, a saber XcYcZc, XcYcWc y XcYcMc, sobre los cuales se puede presentar el fenómeno de burbujeo cósmico debido a interacciones asociadas a universos paralelos. En este caso, podría corresponder a generación de posibles puertas dimensionales en el plano XcYc, que es común para estos tres hiperespacios.

Hipervector 5D curvo

Hipervector 5D curvo

Un hipervector 5D curvo, está definido por cinco coordenadas (Xc,Yc,Zc,Wc,Mc), las cuales definen un infinito número de puntos encerrados en un hipervolumen finito. En la figura se muestra un  hipervector parte del origen y llega al punto que se determina mediante la suma consecutivamente de las componentes del hipervector.

Es importante recordar, que en todo plano o pantalla, solamente se pueden graficar dos dimensiones, cualquier otra extra es producto de la utilización de un truco para dar la sensación de profundidades, ya sea utilizando inclinaciones especiales o sombreados. En el caso actual, se ha jugado con las inclinaciones para dar la sensación ndimensional de la figura.

Todo hipervectHipervector unitario 5D curvoor 5D curvo tiene asociado un hipervector unitario definido por:

ê = e /e, donde

e = (exc2 +eyc2+ ezc2 + ewc2 + emc2)0.5.

Hipervector unitario 5D curvo

La función del hipervector unitario 5D, es definir la inclinación del hipervector original  respecto a los planos que definen sus ejes dentro del retículo.

En la figura el hipervector original parte del origen, pero como se grafica el hipervector unitario encima de él, no se observa claramente desde donde inicia el hipervector original.

Proyección hipervector 5D curvo

Proyección hipervector 5D curvo

La proyección de un hipervector 5D curvo, sobre otro hipervector 5D curvo, se realiza en forma similar a los ejemplos anteriormente mencionados.

Para calcular el tamaño de la proyección  del hipervector a sobre el hipervector b, se utiliza el resultado del producto escalar de los hipervectores tal que:

 proya sobre b = ab ÷ b , donde a b = axc bxc +  ayc byc + azc bzc + awcbwc +amcbmc.

Suma hipervectorial 5D curvo

Suma hipervectorial 5D curvo

La suma de hipervectores 5D curvo, se puede realizar graficamente utilizando el método de los vectores consecutivos, donde la resulta se grafica partiendo del origen hasta el punto final que demarcan los vectores originales colocados en forma consecutiva.

La suma de los hipervectores a + b = ((axc +bxc), (ayc + byc), (azc + bzc), (awc + bwc), (amc +bmc)).

Se invita a los lectores a revisar la aplicación de esta teoría hiperdimensional presentada en este sitio web ( hipergeometria 3D curva, hipergeometría 4D curva y hipergeometrías 5D curva), con el fin valorar el potencial que tiene la misma. Quizás actualmente algunos no  vean su potencialidad, pero no falta mucho tiempo para reconocer ese potencial oculto en este formalismo matemático gráfico.

1.770 pensamientos en “Algebra vectorial curva

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