Cilindros ndimensionales

Cilindros ndimensionales

Hipercilindros XY de un retículo 6D ordinario

Hipercilindros XY de un retículo 6D ordinario

Un cilindro es una figura simple que nace al trasladar un círculo en trayectoria perpendicular al plano que contiene el mismo. Esa trayectoria la define el eje cilindro. En el caso del espacio tridimensional, el círculo de área basal sólo posee un eje para trasladarse perpendicular al plano que lo contiene. En el espacio tetradimensional hay dos ejes de movimiento perpendicular al plano que contiene al área. Finalmente en el espacio pentadimensional hay tres ejes que son perpendiculares al plano que contiene al área basal. En el caso de retículos 6D ordinarios, la evolución del círculo basal puede ser en cuatro direcciones perpendiculares, tal y como se muestra en la figura.

Cilindros tridimensionales

En el espacio tridimensional el área basal se coloca normalmente en el plano x-y, esta área es la que define un círculo, que posteriormente se denominará área transversal del cilindro.

Cilindro tridimensional

Cilindro en el espacio 3D

El volumen del cilindro 3D es igual a la  multiplicación de su área basal por su largo.

El área del cilindro 3D es igual a la suma de las dos áreas circulares (superior e inferior) más su área cilindrica.

El cilindro tridimensional posee una única boca de evolución. Si el área basal se encuentra en el plano x-y, su boca apunta al eje z.

La ecuación típica de un cilindro es: r2(z) = x2 + y2

Cilindros tetradimensionales

Cilindro tetradimnensional

Cilindro tetradimensional

En el espacio tetradimensional, el cilindro se puede generar siguiendo los ejes perpendiculares al plano que contiene al área basal. Al realizar lo anterior se generan dos cilindros, uno en el espacio xyz y el otro en el espacio xyw.

El volumen del cilindro tetradimensional es igual a la suma de los volúmenes ocupados en sus dos espacios tridimensionales asociados ( xyz y xyw).

Lo mismo ocurre con el área de un cilindro tetradimensional, es igual a la suma de las áreas medidas en cada uno de sus espacios tridimensionales asociados (xyz y xyw).

El cilindro tetradimensional tiene dos bocas cilíndricas de salida por área basal. Si el área basal se encuentra en el plano x-y, sus bocas cilíndricas apuntan al eje z y al eje w.

Un cilindro tetradimensional simple cuya área basal se encuentre en el plano xy, y cuya boca sólo evolucione en el eje w, será visto por un ser del espacio xyz como una sombra circular.

Su ecuación típica es:

r2(z) = x2 + y2      r2(w) = x2 + y2

Cilindros pentadimensionales

Cilindro pentadimensional

Cilindro pentadimensional

En el espacio pentadimensional ordinario, un cilindro puede ser formado al desplazar un área en la dirección perpendicular a ella, es decir, a lo largo de los ejes z, eje w o bien eje m. Debido a lo anterior se puede decir que tiene tres bocas cilíndricas, una por cada eje de evolución.

El volumen del cilindro pentadimensional es igual a la suma de los volúmenes encerrados por las superficies en los tres espacio tridimensionales asociados xyz, xyw y xym.

El área de un cilindro pentadimensional, es igual a la suma de las áreas medidas en sus espacios tridimensionales asociados (xyz, xyw y xym).

Lo figura anterior es relevante para analizar lo que ocurriría para un ser que viva en el espacio xyz al interactuar con objeto cilíndrico pentadimensional. Si el objeto tiene su área basal en el plano x-y y solamente evoluciona en los ejes w  y m, el observador sólamente verá una sobra circular y nunca sabrá que lo que vio fue un cilindro tridimensional o tetradimensional ubicado en el espacio de la quinta dimensión.

Cilindros pentadimensionales de varias áreas basales

Cilindros pentadimensionales de varias áreas basales

Los cilindros pentadimensionales pueden tener áreas basales en diferentes planos, por lo cual un eje puede ser la dirección de la salida de varias bocas de los cilindros 3D que evolucionan en el espacio pentadimensional. Observe la figura de la par, pues ilustra lo antes mencionado.

 Su ecuación típica es:
r2(z) = x2 + y2      r2(w) = x2 + y2    r2(m) = x2 + y2

 

 

 

Cilindros 6D

Cilindro 6D

Cilindro 6D

Los cilindros 6D se generan al igual que en los casos anteriores a partir de la evolución de un circulo en la dirección perpendicular al mismo. En el caso de 6D, la evolución de círculo que se localiza en el plano xy, se realiza  hacia cuatro direcciones perpendiculares, a saber los ejes z, w, m y l.

Su ecuación típica es:
r2(z) = x2 + y2      r2(w) = x2 + y2    r2(m) = x2 + y2     r2(l) = x2 + y2

 

Hipercilindro en retículo curvo

Un hipercilindro curvo es una figura bastante interesante, pero que para analizar guarda cierto grado de dificultad en el área matemática. Con el fin de favorecer la comprensión de este documento se ha generado el siguiente video.

Hypercilindro 3D curvo

Hypercilindro 3D curvo

Cuando se grafica un hipercilindro dentro de un retículo curva la geometría cmbia notablemente, pero la simetría curva de su base sigue siendo notoria.

Su ecuación:

rc2(zc) = xc2 + yc2

para todo Zc el radio deljhipercilindro es una constante.

En la figura de lado, se muestra la forma o geometría del hipercilindro curvo, visto desde un plano superior. En el retículo curvo se verá un cilindro perfecto, pero en este plano superior es donde la geometría cambia.

Hipercilindro 3D curvo extra gigante

Hipercilindro 3D curvo extra gigante

A continuación se muestra un video donde se ilustra como se deforma la geometría de un hipercilindro vista desde un plano superior al retículo curvo. En el  límite en que el radio del hipercilindro curvo tiende a infinito medido desde el retículo curvo, la geometría de la emanación tiende a ser esférica, tal y como se ilustra en la figura adjunta.

El siguiente video muestra un resumen sobre la graficación de cilindro en un retículo 3D curvo tipo 2, con el fin de que observe la diferencia entre los retículos 3D curvos tipo 1 y tipo 2. El retículo 3D curvo tipo 2, se genera a partir de tres ejes curvos que divergen del origen.

Hipercilindro 1D ordinario 2D curvo

Hipercilindro 1D ordinario 2D curvo

Hipercilindro 1D ordinario 2D curvo

Un hipercilindro graficado en retículo mixto 1D ordinario 2D curvo, muestra una simetría típica de cilindro, si su eje principal concuerda con el eje dimensional ordinario. Observe como la periferia tiende a deformarse, simulando un cuadrado con las esquinas curvas.

Su ecuación es:

r2(z) = xc2 + yc2

Hipercilindro 2D ordinario 1D curvo

Hipercilindro 2D ordinario 1D curvo

Hipercilindro 2D ordinario 1D curvo

Un hipercilindro graficado en un espacio definido por dos ejes dimensionales ordinarios y uno curvo, genera una figura  que era predecible, según  lomostrado para un círculo en el documento “hipergeometría 2D“, pues se espera que el círculo se enrolle dentro del eje dando esa forma de un cilindro mostrada en la figura adjunta.

Su ecuación es:

r2(z) = xc2 + y2

Hipercilindro 4D curvo

Hipercilindro 4D curvo

Hipercilindro 4D curvo

Un cilindro al ser graficado en un sistema que tenga al menos un eje curvo, doblará su envolvente cilíndrica alterando la forma típica de un cilindro clásico. En el caso de un sistema dimensional con cuatro ejes curvos, el círculo basal, evolucionará en torno a sus dos ejes perpendicuales (Zc y Wc), arqueándose de la forma mostrada en la figura.

Observe como las bocas del cilindro se deforman, tal y como lo indica el documento de hipergeometría 2D.

Transformaciones curvas recursivas en cilindros

Hipercilindro 3D curvo transformado dos veces

Hipercilindro 3D curvo transformado dos veces

Un cilindro puede estar incluido dentro de un retículo altamente encurvado, dentro de él se observará como un cilindro, pero visto por un observador ubicado en un plano dimensional superior su forma o geometría puede variar notablemente, dependiendo del radio y largo de este cilindro, comparado con el radio del bucle del retículo curvo.|

Nótese en la figura de lado, como la forma del cilindro es afectada por la curvatura de los ejes del retículo curvo donde se ubica  el cilindro. En este caso, el conjunto de puntos que definen a una envolvente cilíndrica se le han aplicado dos transformaciones, generando esta nueva geometría cambiante con el radio del cilindro. De manera que si A es el conjunto de puntos de una envolvente 3D ordinaria de un cilindro y T es el operador que realiza la transformación que encurva a los ejes, se tendrá un nuevo conjunto de coordenadas A’, que está definido por A’ = T(T(A)), que corresponde al conjunto de puntos visto desde el plano superior dimensional donde se ubica a otro observador.

A continuación se muestra un video que ilustra el comportamiento de la geometría de un cilindro 3D al evolucionar dentro de un retículo 3D curvo, transformado dos veces recurrentemente.

Hipercilindro 3 curvo sometido a tres transformaciones curvas

Hipercilindro 3 curvo sometido a tres transformaciones curvas

Un cilindro ubicado en un retículo 3D curvo, sometido a tres transformaciones curvas, muestra un comportamiento geométrico muy especial visto desde un plano dimensional superior. Donde A es el conjunto de puntos o coordenadas que definen una envolvente cilíndrica 3D ordinaria y T es el operador que encurva los ejes dimensionales, se tiene un nuevo conjunto de coordenadas A’, tal que A’ = T(T(T(A))), que corresponden  a las coordenadas medidas por un observador ubicado en un plano dimensional superior al del retículo.

Note como en la figura se muestra una membrana conformada por las partículas que se enrolla, generando un crecimiento aparente en todas las direcciones, tal que un observador ubicado en cualquiera de las notaría que todas las partículas se alejan entre sí, tal y como lo indican para las galaxias debido al big bang, demostrado por el corrimiento al rojo.

A continuación se muestra un video ilustrando el comportamiento de un hipercilindro 3D, que evoluciona dentro de un retículo 3D curvo, sometido a tres transformaciones curvas. En este video, se muestra como para el caso en que rc tiende a infinito, el cilindro muestra una envolvente externa que delimita su volumen la cual posee una geometría esférica.

Hipercilindro 3D curvo sometido a 4 transformaciones curvas

Hipercilindro 3D curvo sometido a 4 transformaciones curvas

Un cilindro al ser graficado en un retículo altamente encurvado, sometido a cuatro transformaciones curvas, genera otra familia de hipercilindros, cuya geometría cambia conforme crece el radio del mismo. Observe como se dá un enrollamiento de superficies similares a sectores de toroides.

A continuación se muestra un video donde se ilustra el crecimiento de una emanación de partículas cilíndricas en un retículo 3D curvo sometido a 4 transformaciones curvas.

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