Redes de Bravais hiperdimensionales

Redes de Bravais

Son estructuras definidas por una serie discreto de puntos, con invarianza ante ciertas traslaciones. Esta asociada a un término denominada celda primitiva, que sería el de bloques básicos con los cuales se genera una estructura compleja.

La red típica se podría indicar mediante

 R = \left\{ \sum_{i=1}^n \nu_i \vec a_i \; | \; \nu_i \in\Bbb{Z} \right\}

Existen redes tridimensionales que conforman el grupo de : triclínico, monoclínico, ortorrómbico, tetragonal, romboédrico (trigonal), exagonal y cúbico.

Algunos términos utilizados en conjunto con las redes de Bravais son:

  • Factor de empaquetamiento, que representa la fracción de volumen ocupado en la celda.
  • Volumen de la celda primitiva, es el hipervolumen definido con los los hipervectores básicos.
  • Densidad, que indica la cantidad media por volumen en la celda primitiva.

Celdas unitarias del espacio 3D ordinario

Celda exagonal 3D ordinario

Celda exagonal 3D ordinario

Celda exagonal, está basada en ocho puntos que definen al paralelepípedo que se genera con tres vectores base, que cumplen con a= b pero con c de diferente magnitud a ellos, sus ángulos entre vectores son α = β=90° y γ=120°.

En la figura se ha graficado la celda con a = b =5, c = 6, α = β=90° y γ=120°. En primera instancia se puede comparar la figura a la de cubo alargado y que se ha torcido hacia un lado.

Celda rombohédrica 3D ordinario

Celda rombohédrica 3D ordinario

Celda rombohédrica, está definida por ocho puntos, producto de la confluencia de tres vectores base que definen el volumen de un paralelepípedo.

La condición de magnitudes y ángulos para este tipo de celda es: a= b= c, con α = β = γ , pero con valores diferentes a 90° pero menores a 120°.

Los valores empleados para la gráfica son a=b=c= 5, con ángulos de α = 60°, β = 80° y γ = 110°

Esta forma se obtiene al deformar un cubo sin variar el tamaño de sus lados.

Celda tetragonal 3D ordinario

Celda tetragonal 3D ordinario

Celda tetragonal, está conformada por ocho diferente puntos definidos por los vectores base que forman el paralelepípedo, tal que a = b  con c de diferente magnitud, con los ángulos α = β = γ = 90°.

Para la figura se tomaron los siguientes valores, a = b= 5 con c = 6,  α = β = γ = 90°.

Esta figura equivale a tomar un cubo y alargarlo.

Celda ortorómbica 3D ordinario

Celda ortorómbica 3D ordinario

Celda ortorómbica, conformada por la distribución de ocho puntos definidos por los vectores base que conforman el paralelepípedo, con valores a ≠ b ≠ c y con los ángulos α  = β = γ = 90°.

La figura se realizó con los siguientes valores a= 6, b=5 y c=7 con ángulos  α  = β = γ = 90°.

En este caso la figura se forma al deformar el cubo en cuanto a sus lados manteniendo constante el ángulo de 90°.

Celda monoclínico 3D ordinario

Celda monoclínico 3D ordinario

Una celda monoclínico, está definida por ocho puntos tal que sus vectores base que conforman el paralelepípedo cumplen con,  a ≠ b ≠ c, con sus ángulos  α = γ ≠ 90°, con β diferente a α.

Los valores empleados para generar la figura de lado son a= 5, b=7 y c=6, con sus ángulos  α = γ = 80° y β = 110°.

Se podría obtener una figura equivalente, al deformar un cubo estirándolo hacia todos los lados, variando sus ángulos.

Celda triclínica 3D ordinario

Celda triclínica 3D ordinario

Una celda triclínica, está definida por ocho puntos que responden a las posiciones de los vectores base que forman un paralelepípedo, cuyos valores cumplan con a ≠ b ≠ c y con los ángulos α≠ β ≠ γ.

Para la realización de la figura se utilizaron los siguientes valores a=5,  b= 7 y c=6, con ángulos de  α= 80°,  β=120 ° y   γ = 70°.

Para obtener una figura similar se debe deformar un  cubo estirándo todos sus lados y variando sus tres ángulos.

Celda cúbica simple 3D ordinario

Celda cúbica simple 3D ordinario

Una celda cúbica simple 3D ordinario está conformada por un conjunto de ocho puntos, que se ubican en los vértices de un  cubo en donde se coloca una estructura de  átomos.   En la representación gráfica como sólo un octavo de cada esfera queda dentro de la de la celda, de manera que la cantidad de esferas dentro de la celda es una. Con esta información se puede calcular su factor de empaquetamiento, f =( 4Πr3/3)/a3, donde 2r = a√3.

El factor de empaquetamiento atómico de este tipo de celda es del 52%.

Celda cúbican cuerpo centrado 3D ordinario

Celda cúbica cuerpo centrado 3D ordinario

Una celda cúbica centrada en el cuerpo está conformada, por una serie de 9 puntos base, ocho en los vértices de un cubo y otro en el punto de intersección de las diagonales del cubo. Dentro de la celda hay dos átomos encerrados, un octavo en cada vértice y uno en el centro. El factor de empaquetamiento atómico para esta celda f= 2*( 4Πr3/3)/a3, donde 4r = a√3.

El factor de empaquetamiento atómico de este tipo de estructura es de 0.68.

Celda cúbica cara centrada 3D ordinario

Celda cúbica cara centrada 3D ordinario

Una celda cúbica cara centrada 3D ordinario, posee 14 puntos base en donde se colocan los arreglos atómicos. En su interior se encierran 4 arreglos atómicos, un octavo en cada vértice y una mitad centrada en cada cara.

El factor de empaquetamiento atómico para esta celda f= 4*( 4Πr3/3)/a3, donde 4r = a√2.

El factor de empaquetamiento de esta estructura es 0.74.

Celdas unitarias 3D curvo

Celda unitaria en un hiperespacio 3D curvo

Celda unitaria en un hiperespacio 3D curvo

La posibilidad de la existencia de retículos curvos, hace necesario realizar un estudio sobre el comportamiento de las redes de Bravais 3D en dichos retículos.

Debido al comportamiento de los valores de las coordenadas para un observador externo a dichos retículos curvos, es decir, para un observador ubicado en un espacio dimensional superior, donde para él la geometría es muy diferente a la del observador ubicado en el retículo curvo, se hace necesario un estudio completo de estas redes tridimensionales. Por ejemplo, observe la celda unitaria de la figura anterior, para un observador en retículo curvo será un cubo, pero un observador ubicado en hiperespacio superior, observará lo de la figura. Si el tamaño tamaño de las aristas crece o disminuye, la geometría vista por el observador externo variará constantemente. Para aclarar lo antes indicado, lo más apropiado es un video que  elaborar para dicho fin, y a continuación se presenta para su ilustración.

Celda unitaria exagonal 3D curvo

Celda unitaria exagonal 3D curvo

Debido a la naturaleza curva de los ejes, las diferentes celdas básicas 3D curvas, tienden a deformarse conforme aumenta el tamaño de los lados.

En la figura adjunta, se muestra una celda unitaria exagonal, que debido a la curvatura de los ejes  no se observa claramente la relación de los ángulos entre los diferentes lado. En este caso, la figura posee ángulos de 90° pra dos lados y uno de 120 ° respecto al plano que forman los anteriores lados.

A continuación se presenta un video, en donde se evoluciona una celda unitaria exagonal 3D curva, desde tamaños muy pequeños hasta grandes.

Celda unitaria exagonal 3D curvo

1.083 pensamientos en “Redes de Bravais hiperdimensionales

  1. I have to show thanks to you for rescuing me from this type of crisis. Right after scouting through the search engines and coming across techniques that were not helpful, I was thinking my entire life was well over. Existing without the presence of solutions to the problems you’ve sorted out through your entire blog post is a crucial case, and those which might have negatively affected my career if I had not come across the website. Your own personal capability and kindness in playing with all the things was priceless. I don’t know what I would have done if I hadn’t encountered such a point like this. I’m able to now relish my future. Thanks for your time very much for the professional and amazing help. I won’t be reluctant to endorse the sites to anybody who should have guide on this problem.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.