Teoría cinética de los gases

El efecto macroscópico observado en los gases (presión temperatura) se debe a la energía cinética que estas poseen. Las partículas componentes del gas se mueven distancias que van desde un extremo al otro extremo del recipiente generándose colisiones cuyo efecto total es la presión sobre las paredes del contenedor. Esta presión se le asocia a todo el gas.

Dado que la energía cinética depende de la magnitud al cuadrado de la velocidad de las partículas es importante conocer algunas particularidades, como: la velocidad media de un conjunto de partículas es igual a la velocidad del recipiente. Si este se encuentra en reposo, la sumatoria de velocidades del sistema será cero.  Esto se debe a que algunas partículas se mueven hacia abajo, otras hacia arriba y lo mismo en las otras direcciones ( x,y). La velocidad que se utiliza en fórmula para cálculo de energía cinética es la Vrms (velocidad raíz media cuadrática). Por tal razón, para un gas contenido en un recipiente que se encuentre en reposo, se puede decir:

<vx> = <vy> = <vz> = 0.

Vrms > 0

Para un gas contenido en una región mucho más grande que el tamaño de las partículas, tal que las direcciones "x", "y" y "z" sean indiferentes se puede mendionar que:

<vx2> = <vy2> = <vz2> = v2 / 3.

La energía cinética de una partícula es: 0,5 m <v2> = 1,5 m <vx2> y esta energía para el conjunto de partículas se manifestará como un efecto de temperatura y presión asociada al gas.

 

 Presión de un gas

Las partículas cuando se desplazan dentro del contenedor  realizan colisiones  contra las paredes del mismo. Estas colisiones deben cumplir con la ley de conservación del momentum lineal. Es decir, la cantidad de movimiento antes de la colisión debe ser igual a la cantidad de movimiento después de la colisión.

F =  Δp / Δt=  N m A  vx2

o bien F = N A m <v2 >/ 3

donde N es el número de partículas en el recipiente y <v2> es la velocidad media cuadrática del conjunto de partículas, el área  transversal (perpendicular al movmiento)  que tiene el recipiente y m la masa de una prtícula. Dado que la cantidad de partículas es muy grande, se puede  usar la ecuación  para la presión  ejercida por las partículas en términos del número de Avogadro.

 P = n Mmolar <v2> / 3

 donde n es la cantidad de moles de partículas contenidas en el recipiente y Mmolar la masa molar del gas encerrado en el recipiente.

Es importante aclarar que si en un recipiente hay más de un gas, la presión total del gas como un todo, es la suma de las presiones de cada uno de los gases contenidos en el recipiente.

 

Definición cinética de la temperatura

La ley de los gases ideales dice: P Vol = n R T, donde n es la cantidad de moles , T es la temperatura del gas en Kelvin y R es una constante cuyo valor es 8,314 J/(mol k). A partir de ese valor se puede obtener la constante de Boltzman:

kB = R / #Avogadro= 1.38 x 10-23 J/K.

La energía cinética de los gases ideales se calcula en base a temperatura como:

Energía cinética = f x kB x T /2 donde f son los grados de libertad de las partículas que componen el gas.

Si el gas ideal es monoatómico posee tres grados de libertad, si es diatómico posee 5.

 

Distribuciones de velocidades

Las partículas puntuales componentes de un gas  ideal responden a distribuciones de velocidades. Estas se indican con ecuaciones matemáticas que  muestran como está definida la frecuencia de velocidades de las partículas. Por log eneral se utilizan dos esquemas para indicar el comportamiento de la distribución:

  • Mediante descripción por número de partículas: en el eje vertical se indica el número de partículas para cada velocidad y en el eje horizontal los valores de las velocidades. El área bajo la curva de N(v) vrs velocidad dá el número total de partículas. Los valores  del conjunto se calcular así:

<v> =  ∫ v N(v) dv / ∫ N(v) dv

<v2> = ∫ v2 N(v) dv /  ∫ N(v)dv

Vrms = <v2>0,5

No. partículas = ∫ N(v) dv

  • Mediante probabilidad  que tienen las particular de tener una velocidad  entre v y v+ dv: en el eje vertical se coloca la probabilidad  de que se encuentre en el rango antes descrito y en el eje horizontal los valores de velocidad.

<v> = ∫ v  P(v) dv

<v2> ∫ v2 P(v) dv

Vrms = <v2>0,5

 

A continuación se muestran algunos ejemplos de distribuciones de velocidades  de las partículas hipotéticas:

1.- Se tiene un gas  ideal cuya distribución de velocidades se describe a continuación. Determine el número total de partículas, la velocidad media del gas y la velocidad eficaz (Vrms).

Distribución de velocidades

Solución:

Primero se identifica la función distribución de velocidades:

N(v) = a para todas la velocidades entre 0 y vo, 2a para todos los valores de  velocidades entre vo y 2vo, y a para el rango de velocidades entre 2vo y 3vo.

Puesto que la función está definida para tres intervalos se deberá calcular los valores promedio y medio cuadrático con tres integrales tomando en cuenta la función distribución para cada uno  de ellos

Es decir se debe calcular para la velocidad media:

  • ∫ v a dv /(4avo) en el intervalo de 0 a vo, lo cual dá a vo2/(8 a vo) = vo / 8
  • ∫ v 2a dv/ 4a vo) , pra el intervalo de vo a 2vo, resultando  3 vo /4
  • ∫ v a dv / (4avo), para el intervalo de 2vo a 3vo, resultando  5 vo / 8

Respuesta: Posteriormente se suman todos los valores calculados, obtendiéndose <v> = 1,5 vo

Luego para el valor de la velocidad media cuadrática:

  • ∫ v2 a dv /(4avo) en el intervalo de 0 a vo, lo cual dá vo2/ 12.
  • ∫ v2 2a dv /(4avo) en el intervalo de vo a 2vo, lo cual dá 7 vo2 / 6.
  • ∫ v2 a dv /(4avo) en el intervalo de 2vo a 3vo, resultando 19 vo2 /12

Respuesta: Al sumar lo anterior  se obtiene <v2> = 17 vo2 / 6.

Con el anterior resultado se puede calcular el valor Vrms = 0,44 vo.

Para el número de partículas total calcule el área que da 4 a vo.

 

2.- Determine la velocidad rms y su velocidad promedio  de una distribucíon  que se comporta como  se indica en la siguiente gráfica de P(v) vrs v.

Distribución de velocidades

Solución:

Primero se escribe la función de probabilidad de la distribución de velocidades: 0,25  para el rango de 0 a vo, 0,50 para el ámbito de valores de vo a 2vo y 0,25 para  de 2vo a 3vo.

Para resolver este problema la suma de las áreas bajo la curva debe ser igual a 1, pues se utiliza una partícula representativa por locual 0,25*vo +0,5*vo +0,25 vo = 1, lo que implica que el valor vo es 1 m/s.

Luego calcule P(v)  v  dv, para cada uno de los intervalos de velocidades antes mencionados.

  • ∫ 0,25 v dv  para el intervalo de 0 a vo, cuyo resultado es  vo2 /8 = 1/8 m/s
  • ∫0,5 v dv  para el intervalo de vo a 2vo, cuyo resultado es 3 vo2 / 4 = 3/4 m/s
  • ∫ 0,25 v dv para el intervalo de 2vo a 3vo, cuyo resultado es  5 vo2 /8 = 5/8 m/s

Respuesta: Al sumar todos los cálculos anteriores da que <v> = 1,5 m/s.

Se procede igual para el cálculo de  <v2>:

  • ∫ 0,25 v2 dv para el intervalo de 0 a vo, cuyo resultado es  vo3/12 = 1/12 m2/s2.
  • ∫ 0,5 v2 dv para elintervalo de vo a 2vo, cuyo resultado es  7 vo3 / 6, cuyo resultado es  7/6 m2/s2.
  • ∫ 0,25 v2 dv para el intervalo de 2vo a 3vo, cuyo resultado es 19 vo3 /12 = 19/12 m2/s2.

Al sumar todas las cantidades recién calculadas dá <v2> = 17/6 m2/s2.

Respuesta: Por lo tanto Vrms = 1.08 m/s.

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