Wednesday, 26 April 2017
Masa y densidad de un fluido

Masa y densidad de fluido

La densidad de masa es la cantidad de masa de un objeto contenido en un punto de masa. Se podría indicar como la derivada de la masa respecto a la variable importante que describe su geometría. Puede ser lineal como en el caso de hilo o barras, superficial para el caso de planos o volumétrica.
La masa contenida en un diferencial de volumen  se puede calcular como densidad por diferencial de volumen.
La expresión matemática del  diferencial de masa depende de la geometría del objeto. Por ejemplo para cilindros, conos y esferas es muy útil las coordenadas polares.
Tabla1. Definición de los diferenciales de masa
Geometría Diferencial de masa  Límites Detalle
Cilindro Sólido  ρ 2πrLdr  0 < r < R Cortado en  cilindros delgados de espesor dr.
ρ es función del radio.
 Cilindro hueco  ρ 2πrLdr  r1 < r <r2 cortado en cilindros delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Cilindro sólido ρ π r2 dz
z1< z <  z1 + H Cortado en cilindros delgados de altura dz.
ρ es función de z.
Cilindro hueco ρ π (r2  -  a2) dz   Cortado en cilindros huecos delgados de espesor dz.
ρ es función de z.
 Cono sólido  ρ π r2 dz   0 < z < H cortado en  rodajas circulares. Se debe encontrar la relaciónentre z y el radio.
ρ es función de r o de z.
 Cóno  con hueco cilindrico centrado  ρ π (r2 - a2 )dz  0 < z < H Cortado en rodajas cilíndricas huecas.
ρ es función del radio o de z.
 Esfera sólida   ρ 4 π r2 dr
 0 < r < R  Cortado en cascarones esféricos delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Esfera hueca ρ 4 π r2 dr  r1 < r < r2 Cortado en cascarones esféricos delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Barra muy delgada recta λ  d x  x1  < x < x1 + L  Cortado en segmentos de ancho dx.
λ  es función de x.
Barra delgada (sector circular) λ R dθ  θ 1 < θ < θ2 Cortado en sectores diferenciales de arco.
λ es función del ángulo.


Ejercicios:

Determine  la masa de una capa muy delgada fluido, cuya densidad λ = a*x. Donde x es la  posición del segmento diferencial medido  por el observador ( ver figura).

Barra
 
Solución:

 
  λ = a*x
dm = 
λ  dx
límites = ]- L , 0 [

  M =
dm  = λ  dx = a x dx integrado desde  x = -L hasta x = 0.
 
 
  M  = a x2 /2 evaluado de  x = -L hasta 0.
 
M = a/2 *[ 0 2 - (-L)2  ]
 

Respuesta: La masa de la barra es -a L2 /2.

Determine la masa de un fluido contenida en uncilindro sólido de radio R cuya densidad depende radialmente  dada por  
ρ= 2* r.

Solución:

dm =
ρ dvol = ρ 2π r L dr
dm = 4
π  * r2 L dr

M = 4π * r2 L dr  integrado desde r = 0 hasta r = R.

M = 4
π L*r3 /3 evaluado desde r = 0 hasta r = R
M =
4π L*R3 /3

Respuesta: La masa del fluido es 4π L*R3 /3





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