Tuesday, 12 December 2017
Centro de masa de un sistema de partículas

Centro de masa

El centro de un sistema de partículas es el punto que representa al conjunto, este puede ser localizado y debe indicarse su posición definiendo un punto de referencia, en el cual se supone que se encuentra el observador. Este punto puede desplazarse y acelerarse debido a la intervención de fuerzas sobre las partículas.

Posición del centro de masa


Un sistema de partículas puntuales dentro del modelo de la mecánica clásica, posee un punto representativo de todo el conjunto, este punto se denomina centro de masa. Su localización puede ser determinada utilizando la siguiente fórmula:
Rcm = ∑ mi ri / mi

donde Rcm es la posición del centro de masa respecto a la posición del observador, mi es la masa de cada una de las partículas y ri es el vector posición de las partículas medidas desde la posición del observador.


Ejemplo:

Determina la posición del centro de masa del siguiente sistema de partículas puntuales. Asuma que el observador se encuentra en el vértice superior derecho del rectángulo imaginario sobre el cual se colocaron todas la partículas.
Partículas puntuales
Solución:

M1 = 2kg
M2 = 3kg
M3 = 4 kg

Primero obtenga las expresiones de las posiciones de las partículas recordando la posción en que se encuentra el observador.
r1 = - 4 m i
r2 = ( - 4 i - 3 j) m
r3 = - 3 m j

Aplique la fórmula para la determinación de la posición del centro de masa.
mi = 2 + 3 + 4 = 9 kg

mi ri = 2* (- 4 i) + 3* (- 4 i - 3 j) + 4 * (- 3 j ) = ( -20 i - 21 j ) kg m
Respuesta: La posición del centro de masa es ( -20 / 9 i - 21 / 9 j ) m respecto al punto P.

Un sistema está formado por dos partículas una de masa 2 kg cuya posición está determinada por r1 = ( 3 t i + 2t2 j ) m, la segunda partícula de masa 4 kg tiene una posción r2 = ( t i + t j ) m. Calcular la posición del centro de masa del sistema para t = 2 segundos.


Solución:

M1 = 2 kg
M2 = 4 kg

r1 ( t = 2 s) = ( 3 *2 i + 2 * 22 j ) = ( 6 i + 8 j ) m
r2 ( t = 2 s) = ( 2 i + 2 j ) m

Aplicando la fórmula:

 

mi = 2 + 4 = 6 kg

mi ri = 2 * ( 6 i + 8 j ) + 4* ( 2 i + 2 j ) = ( 20 i + 24 j ) kg m

Rcm = ( [ 20 / 6] i + [24 / 6 ] j ) m


Respuesta: La posición del centro de masa para t = 2 s, es ( 3,33 i + 4 j ) m


Velocidad del centro de masa


El centro de masa puede desplazarse al transcurrir el tiempo. Su velocidad puede ser determinada utilizando la siguiente fórmula:
Vcm = m Vi / mi

Ejemplo:

Determine la velocidad del centro de masa del siguiente sistema discreto.
Partćiulas en movimiento


Solución:

M1 = 2 kg
M2 = 3 kg
M3 = 4 kg
V1 = i m / s
V2 = j m / s
V3 = 2 * ( - cos (36.9º) i + sin (36,9º) j ) m/s = ( -1,6 i + 1,2 j ) m/s

Aplicar la fórmula.
mi = 2 +3 + 4 = 9 kg
 
mi Vi = 2 * ( i ) + 3 * ( j ) + 4 * ( -1,6 i 1,2 j) = ( - 4, 4 i + 7,8 j) kg m / s
 
Vcm = ( [ - 4,4 / 9 ] i + [7,8 / 9] j ) m / s
Respuesta: La velocidad del centro de masa es ( -0,54 i + 0,87 j) m / s.

Un sistema está formado por dos partículas una de masa 2 kg cuya posición está determinada por r1 = ( 3 t i + 2t2 j ) m, la segunda partícula de masa 4 kg tiene una posción r2 = ( t i + t j ) m. Calcule la velocidad del centro de masa del sistema para t = 2 segundos.

Solución:

M1 = 2 kg
M2 = 4 kg

Utilizando la definición para el cálculo de velocidad:
V1 = dr1 /dt = ( 3 i + 4 t j) m/s
V1 ( t = 2 s) = (3 i + 4 *2 j ) = ( 3 i + 8 j ) m/s
 
V2 = dr2 / dt = ( i + j ) m/s
V2 ( t = 2 s) = ( i + j ) m/s
Aplicando la fórmula para el cálcuclo de Vcm:
mi = 2 + 4 = 6 kg
mi Vi = 2 * ( 3 i + 8 j ) + 4 * ( i + j ) = 10 i + 20 j
 
Vcm = ( [ 10 / 6] i + [20 / 6 ] j ) m/s

Respuesta: La velocidad del centro de masa pata t = 2 s es ( 1,67 i + 3,33 j ) m/s

Aceleración del centro de masa

El centro posee una aceleración que depende de las fuerzas que interactúan contra las partículas del sistema. Se puede calcular con la siguien te fórmula:
acm = mi ai / mi = Fexternas / mi

Ejemplos:

Determine la aceleración del centro de masa del siguiente sistema.
Partículas y fuerza
Solución:

M1 = 2kg
M2 = 3kg
M3 = 4 kg
F 1 = 9 N i
F2 =
8 N j
F3 =
6 N j

Aplicando la fórmula para el cálculo de la aceleración:
mi = 2 + 3 + 4 = 9 kg
 
Fexternas = ( 9 i + 8 j + 6 j ) N = ( 9 i + 14 j) N
 
acm = ( [ 9 / 9 ] i + [ 14 / 9 ] j ) N = ( i + 1,56 j ) m/s2

Respuesta: La aceleración del centro de masa es ( i + 1,56 j) m/s2

Un sistema está formado por dos partículas una de masa 2 kg cuya posición está determinada por r1 = ( 3 t i + 2t2 j ) m, la segunda partícula de masa 4 kg tiene una posción r2 = ( t i + t j ) m. Calcula la aceleración del centro de masa del sistema para t = 2 segundos.

Solución:

M1 = 2 kg
M2 = 4 kg

Calculando la aceleración de cada partícula:
 
V1 = dr1 /dt = ( 3 i + 4 t j) m/s         a1 = dV1 /dt =  4 m/s2 j
V2 = dr2 / dt = ( i + j ) m/s     a2 = o m/s2

 
Aplicando la fórmula para el cálculo de la aceleración:
 
mi = 2 + 4 = 6 kg
mi ai ( 2 * 4 j  + 4 * 0) N
 
acm = [8 / 6 ] m/s2  =  1,33 m/s2 j


Respuesta: La aceleración del centro masa es constante 1,33 m/s2 j .
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