Monday, 24 April 2017
Momento de inercia (cuerpo rígido)

Momento de inercia (cuerpo rígido)

Se denomina cuerpo rígido a aquel cuerpo que mantiene su forma a lo largo del tiempo. Por ejemplo una bola de acero mantendrá su forma esférica, una barra mantendrá su geometría, etc.
El momento de inercia mide como está estructurado un cuerpo rigido respecto a un punto de observación o eje de observación.  Se mide en kg m2 y siempre es positivo. Es decir, mide como esta distribuída la materia del cuerpo respecto al punto o al eje.
El momento de inercia se calcula mediante:
I = r2 dm
donde I es el momento de inercia, dm el diferencia de masa del cuerpo y r es la distancia perpendicular al punto de observación o al eje.

Ejemplo:

Calcule el momento de inercia de una barra delgada de longitud L y  densidad lineal  " λ =  a x ". Suponga que el observador se encuentra en el extremo derecho de la barra, que se encuentra en posición horizontal.

Solución:
Barra delgada
Observe que el segmento diferencial de barra analizado se encuentra una distancia "x" atrás del observador.
dm = λ dx

Ip = x2 dm =  x2 * (a x) dx = a x3 dx,
  Lo que prosigue es determinar los límites de integración. Recuerde que la recta numérica se barre de izquierda a derecha, por lo tanto, el extremo más a la izquierda corresponde a x = -L, mientras el extremo más a la derecha de la barra corresponde al origen.

Ip = a x4 / 4 evaludo de -L a 0  = a L4 / 4

Respuesta: El momento de inercia de la barra respecto al punto P es a L4 / 4.


Determine el momento de inercia de un cable  delgado doblado de la manera que se presenta en la  figura, respecto al punto p, si su λ = a x + b.
Cable torcido

Solución:

Observe que hay dos segmentos, uno recto y otro curvo. El segmento recto se recomienda trabajarlo con coordenadas cartesianas, mientras el curvo con coordenadas polares. Utiloice el principio de superposición para calcular el Ip.
Ip = I1p + I2p
donde Ip1 es el momento de inercia del segmento recto e Ip2 es el momento de inercia del segmento curvo.

I1p =  x2 dm = x2 * (a x + b) dx  evaluado desde x = -4 R hasta x = -R.

I1p = ∫  a x3 dx + ∫ b x2 dx  evaluados desde x = -4R hasta x = -R

I1p = (a / 4) *[ (-4R)4 - (-R)4 ]  + (b / 3) * [ (-4R)3 - (-R)3 ]
I1p = (aR4 / 4) * [ 256 -1]  +(b R3 / 3 ) * [ -64  +1 ]
I1p = 63,75 *  a R - 21 * b R3
Calculando I2p utilizando coordenadas polares, recuerde que x = R cos α, y que dL = R dα

I2p =R2 * dm  =   R2 * ( a R cosα + b) R dα evaluados de α = 0 radianes hasta α =  π radianes.
 
I2p = ∫a R4 cosα dα    +  bR3 dα con α evaluado desde 0 hasta pi radianes.

I2p = π b R3
Se aplica el principio de superposición:
Ip = 63,75 *  a R - 21 * b R3 + π b R3

Respuesta: El momento de inercia del cable respecto al punto p es Ip = 63,75 *  a R - 21 * b R3 +  π b R3

 

Teorema de los ejes paralelo

La mayoría de los textos de mecánica clásica traen tablas para el cálculo de momentos de varias geometrías. Este momento de incercia es calculado respecto al centro de masa. Mediante el uso del teorema de los ejes paralelos se puede calcular fácilmente el memento de inerica en otro.
La fórmula del teorema  para el cálculo de I en el punto P sería:
I = ICM + M h2

donde M es la masa del cuerpo, h la distancia entre el centro de masa y el punto P.
Centro de masa

Ejemplo:

Determine el momento de inercia de una barra delgada de 2 kg y 2 m de longitud, respecto a un punto en el extemo de la misma. El momento de inercia de una barra respecto al CM es M L2 /12.

Solución:

M = 2 kg
L = 2 m
h = 1vm
ICM = M L2 /12
I CM = 2 * 22 / 12 =  0,67 kg m2
IP = ICM + M h2      Ip = 0,67 + 2 * 12 = 2,67 kg m2

Respuesta: El momento de inercia de la barra respecto al punto P es de 2,67 kg m2



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