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Centro de masa (cuerpo rígido) PDF Print E-mail
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Wednesday, 25 February 2009 13:06

Centro de masa (cuerpo rígido)

El centro de masa de un cuerpo puede encontrarse dentro o fuera del volumen que ocupa realmente la masa.

La fórmula para la determinación  de la posición del centro de masa es:

Rcm =r dm  / dm
 
donde dm es el diferencial de masa del cuerpo y r es el vector posición del diferencial de volumen medido desde la posición del observador.

La expresión matemática del  diferencial de masa depende de la geometría del objeto. Por ejemplo para cilindros, conos y esferas es muy útil las coordenadas polares.

Tabla1. Definición de los diferenciales de masa
Geometría Diferencial de masa  Límites Detalle
Cilindro Sólido  ρ 2πrLdr  0 < r < R Cortado en  cilindros delgados de espesor dr.
ρ es función del radio.
 Cilindro hueco  ρ 2πrLdr  r1 < r <r2 cortado en cilindros delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Cilindro sólido ρ π r2 dz
z1< z <  z1 + H Cortado en cilindros delgados de altura dz.
ρ es función de z.
Cilindro hueco ρ π (r2  -  a2) dz   Cortado en cilindros huecos delgados de espesor dz.
ρ es función de z.
 Cono sólido  ρ π r2 dz   0 < z < H cortado en  rodajas circulares. Se debe encontrar la relaciónentre z y el radio.
ρ es función de r o de z.
 Cóno  con hueco cilindrico centrado  ρ π (r2 - a2 )dz  0 < z < H Cortado en rodajas cilíndricas huecas.
ρ es función del radio o de z.
 Esfera sólida   ρ 4 π r2 dr
 0 < r < R  Cortado en cascarones esféricos delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Esfera hueca ρ 4 π r2 dr  r1 < r < r2 Cortado en cascarones esféricos delgados de espesor dr.
ρ es función del radio
Barra muy delgada recta λ  d x  x1  < x < x1 + L  Cortado en segmentos de ancho dx.
λ  es función de x.
Barra delgada (sector circular) λ R dθ  θ 1 < θ < θ2 Cortado en sectores diferenciales de arco.
λ es función del ángulo.


Ejercicios:

Determine a) la masa y b) la posición del centro de masa de una barra delgada, cuya densidad λ = a*x. Donde x es la  posición del segmento diferencial medido  por el observador ( ver figura).

Barra delgada
 
Solución:

 
a)  λ = a*x
dm = 
λ  dx
límites = ]- L , 0 [

  M =
dm  = λ  dx = a x dx integrado desde  x = -L hasta x = 0.
 
 
  M  = a x2 /2 evaluado de  x = -L hasta 0.
 
M = a/2 *[ 0 2 - (-L)2  ]
 

Respuesta: La masa de la barra es -a L2 /2.
 

b)
Xcm = x dm / M= ax2 dx / M    evaluado desde x = -L hasta x = 0.
Xcm∫  a x2 dx  / ( -aL2 /2) = (- 2/ L2) ∫  x2 dx evaluado desde x = -L hasta x = 0.
Xcm = (-2/L2) x3 / 3     evaluado para x = -L hasta x = 0
Xcm = (-2/L2) [ 03 -  (-L)3 ] /3= -2 L / 3

Respuesta: La posición del centro de masa es  -2L /3.



Determine la masa de un cilindro sólido de radio R, hecho de un material de densidad variable 
ρ= 2* r.

Solución:

dm =
ρ dvol = ρ 2π r L dr
dm = 4
π  * r2 L dr

M = 4π * r2 L dr  integrado desde r = 0 hasta r = R.

M = 4
π L*r3 /3 evaluado desde r = 0 hasta r = R
M =
4π L*R3 /3

Respuesta: La masa del cilindro es 4π L*R3 /3



Calcule el centro de masa de un cilindro sólido de radio R y densidad ρ = a z y altura H. Donde z se mide respecto a al base inferior del mismo.

Solución:

Por la simetría  e independencia de la densidad respecto al radio, el Cm debe estar en un punto a lo largo del eje del cilindro, por lo cual lo que debe calcularse es a que altura se encuentra dicho punto respecto a la base inferior.

dm = ρ dvol =
ρ π R2  dz

dm = a π R2z dz

M =
a π R2z dz integrado desde z = 0 hasta z = H.


M =
a π R2 z2 / 2    evaluado desde z = 0 hasta z = H
M = a π R2 H2 / 2 


Zcm =
z dm / M = a π R2z2 dz / M  integrado desde z = 0 hasta z = H.

Zcm a π R2z3/(3M) evaluado desde z = 0 hasta z = H.

Zcma π R2H3/(3*[  a π R2 H2 / 2 ])

Zcm = 2 H / 3

Respuesta: El centro masa se encuentra a lo largo del eje del cilindro a una altura 2 H /3 medido desde la base del mismo.


Determine la masa de un cono de altura H, radio R y densidad a *z, donde z se mide desde la parte inferior (punta del cono).

 
Solución:

Se escribe la expresión de la masa de un disco diferencial del cono. Su espesor es dz y el radio es r.
dm = ρ dvol = ρ π r 2  dz
dm =
a z π r 2  dz

M =
a z π r 2  dz  integrado desde z = 0 hasta z = H


Antes de resolver la integral tome en cuenta  que r = z * (R/H)  (ver figura), por lo tanto:


Vista del cono
M = a z3 π R 2  dz /H2   integrado desde z = 0 hasta z = H

M = a π R2 H2 / 4

Respuesta:
  la masa del cono es =  a π R2 H2 / 4



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Last Updated on Friday, 27 February 2009 13:00