Wednesday, 18 October 2017
Velocidad de una partícula

Velocidad de una partícula

Los objetos ocupan un lugar en el espacio tiempo, su evolución genera su historia o línea de vida  o trayectoria en el tiempo. Al pasar de un punto a otro tarda cierto tiempo y la tasa de cambio de posición del objeto al trascurrir el tiempo se denomina velocidad. Esta es un vector que se puede calcular mediante:

V(t) = d r /dt


donde  d r /dt se lee como " primera derivada del vector posición respecto al tiempo". El d r es un cambio diferencial de posición que se realiza en un tiempo muy corto que tambien es un diferencial.
El vector velocidad puede ser calculado mediante el concepto de límite, utilizando:

V(t) = lim { [ r (t +dt/2 ) - r ( t -dt/2) ]/dt } con dt →0


La anterior expresión se lee como" límite del cambio de posición cuando ha transcurrido un tiempo t - dt/2 hasta un tiempo t + d/2, divido entre dt  y con dt tendiendo a cero".
La velocidad calculada el límite anterior o bien utilizando la derivada se denomina velocidad real o instantánea.

 
Ejercicio:
Determine la velocidad de un partícula en t = 1 segundo, que se desplaza según: r = (3 t i +  2 j ) m. Utilice la definición de límite.

Solución:

Es recomendable generar una tabla para determinar mediante aproximaciones al valor de t deseado la tendencia del valor de la velocidad. Utilice Vx = Δ x / Δ t y  Vy = Δ y / Δ t
.

Tabla 1. Conjunto de valores para determinar la tendencia del valor de velocidad.

Tinicial Tfinal xinicial xfinal yinicial yfinal Vx Vy
0 2  0  6  2  2  3  0
 0,5  1,5  1,5  4,5  2  2  3  0
 0,75  1,25  2,25  3,75  2  2  3  0
 0,90  1,10  2,70  3,30  2  2  3  3

Observe que la tabla 1,  muestra un Δ t/2 de 0,5 s para la primera evaluación,  Δ t/2 = 0,25 s para la segunda evaluación y Δ t/2= 0,1 s parala última evaluación.

Respuesta: La velocidad de la partícula en t =  1 s es  V = ( 3 i + 0 j ) m/s

 

Velocidad media

En algunos casos es importante calcular la velocidad media de un intervalo det iempo, es decir, ¿cuántos metros en promedio avanzó la partícula durante un tiempo finito?  La velocidad media para intervalo de tiempo se calcula mediante:

Vmedia =  Δ r / Δ t
donde  Δ r = rfinal - rinicial conocido como vector desplazamiento  y  Δ t es el intervalo de tiempo (tfinal - tinicial).

Para el caso de una dimensión la velocidad media sería Vmedia = ( Δx i )/ Δt donde el signo da referencia al sentido positivo o negativo.

Posición tiempo

Velocidad  en una dimensión

Suponga que  un objeto solamente tiene capacidad de moverse a lo largo de una línea, ya sea horizontal, vertical o oblicua. La velocidad del objeto, mide la tasa de cambio de posición del mismo al transcurrir el tiempo.  Al graficar la posición en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal, se forma una curva continua que determina la trayectoria del objeto al transcurrir el tiempo. La tangente en cualquier punto de la trayectoria mide la  velocidad del objeto en el tiempo de dicho punto. Se puede presentar:
  • La línea tangente a la curva en el punto en estudio posea pendiente  ascendente. Esto indicará que el objeto se mueve en el sentido que incrementan los valores de posición indicados por la recta numérica asociada al eje de la posición. Esto es tendencia posiciones de valores más positivos. Es decir  x(t) > x(t -dt), por lot anto, la velocidad es positiva.
Pendiente positiva
  • La línea tangente a la curva en el punto en estudio tenga pendiente descendente. Esto indicará que el objeto se desplaza en el sentido opuesto al acaso anterior. Es decir x(t) <  x(t - dt), de manera, que la velocidad es negativa
Pendiente negativa
  • La línea tangente a la curva en el punto en estudio sea horizontal, Lo que está indicando es que el objeto se encuentra en reposo para ese valor de t.


Pendiente horizontal


 

Rapidez media de una partícula

 

La rapidez es un escalar que mide cuanto se desplaza por segundo un objeto. Toma en cuenta la trayectoria del mismo.
La rapidez media se calcula como recorrido entre tiempo invertido para  realizar el mismo.el mismo.

Ejercicios:
 Un objeto se desplaza a lo largo de una línea recta de la siguiente manera:
  • durante los primeros tres segundos se mueve 20 m hacia adelante.
  • luego  en 3 segundos se devuelve 4 m.
  • finalmente durante los últimos 3 segundos se mueve hacia adelante 10 m.
Calcule la rapidez media de todo el recorrido realizado por el objeto:

Solución:
 
Primero se calcula el recorrido, sin importar si se movió hacia a delante o hacia atrás se suman las distancias recorridas por el objeto.
Recorrido = 20 m + 4 m + 10 m = 34 m

Luego para conocer el tiempo invertido en el recorrido, se suman todos los tiempos.
Tiempo total = 3 s + 3 s + 3 s = 9 s

Se aplica fórmula: Vs = Recorrido / tiempo total.
Vs = 34 m / 9 s = 3,78 m/s

Respuesta: La rapidez media de todo el recorrido es 3,78 m/s.


Una partícula se mueve 3m hacia adelante paralelo al eje x, luego 4 m hacia arriba (paralelo al eje y)  y finalmente 10 m hacia adelante paralelo al eje x. Calcule la rapidez media de todo el recorrido si tardó en total 10 s.
Solución:

Calcule primero el recorrido, para ello sume lo que se mueve la  partícula sin importar la dirección en que se mueva.
Recorrido = 3 m + 4 m + 10 m = 17 m

Aplique la fórmula de rapidez igual a recorrido entre tiempo.
Vs = 17 m / 10 s = 1,7 m/s

Respuesta: La rapidez media de la partícula fue de 1,7 m/s
 

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