Thursday, 14 December 2017
Posición de una partícula

Posición de una partícula

En la cinemática uno de los conceptos fundamentales corresponde a la posición de los objetos. Esta puede cambiar con el tiempo, por ello se dice que el vector posición es una función vectorial dependiente del tiempo.

El origen es el punto donde el observador principal pone su referencia para indicar las posiciones de los objetos. Es conocida como el punto de los ceros, donde estos corresponden a las componentes de un vector. El número de componentes del origen corresponderá al número componentes que deberá tener el vector posición. Esto queda definido por el sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas en 2D.

coordenadas_cart_2D

El sistema de coordenadas Cartesiano en 2D, posee como origen el punto 0 i + 0 j. Los valores en los ejes se vuelven más positivos para el caso del eje x. Para el eje y, su valores se vuelven más positivos hacia arriba. Lo anterior se indica con las flechas que se encuentran dibujadas en los extremos de los ejes.

componentes_2d

En la figura anterior se muestra graficamente la posición de un punto, mediantes una flecha que ale del origen y llega al punto. Este vector que identifica a este punto tiene las coordenadas (4,3). Esto indica que el valor de la componente x es 4 y el valor de la componente y es 3 en las unidades respectivas. Este tipo de representación es como una fotografía, por lo general es válida sólo pro un instante, pues las partículas se mueve.

Otra forma de indicar la posición de un objeto en coordenadas cartesianas en 2D, es mediante una función vectorial, por ejemplo :

r(t) = 2t i + 4t2 j, donde las distancias están en metros y el tiempo en segundos. En base a esta fórmula se puede calcular la posición del objeto para cualquier tiempo. Si se deseará conocer la posición de la partícula para t = 2 segundos, se sustituye en la fórmula la t por un 2, lo cual daría: r(t = 2s) = 2 *2 i + 4* 22 j. Dando por resultado r(t = 2s) = (4 i + 16 j) m

 

Sistema de coordenadas cartesianas en 3D

sist_coord_3d

El sistemas de coordenadas 3D en cartesianas tiene una representación gráfica como la que se indica en la figura anterior. El eje vertical corresponde a las alturas (z) mientras el eje "y" se dibuja hacia la derecha y el eje "x" con una inclinación indicando que se mide hacia afuera de la página. Su origen está representado por (0,0,0) o bien 0 i + 0 j + 0 k. Se mencionan tres tipos de componente: "componente x", "componente y" y "componente z".

Ejercicios:

El vector P, está descrito por las coordenadas ( 2, 3, 3), el cual describe donde se encuentra un objeto. Determine:

a) La distancia entre el origen y la posición P.

b) El vector unitario de P.

vectorp3

 

 

Solución:

a) Utilice el teorema de Pitágoras extendido a tres dimensiones

[a = (ax2 + ay2+ az2)0.5 ]

P = [22 +32+ 32 ]0.5

P = √22

P = 4,69

Respuesta: La magnitud del vector P = 4,69 m. Es decir el objeto ubicado en la posición P, está a 4,69 m del origen.

b) Se calcula el vector unitario a partir de su definición.

êP = P / P = [ 2 i + 3 j + 3 k ] / 4,69

ê P= [ 0,43 i + 0,64 j + 0,64 k ]

Respuesta: El vector unitario de P es [ 0,43 i + 0,64 j + 0,64 k ].

 

 

La posición de una partícula está dada por r = 3t i + 2t2 j +6 t3 k, donde r está en metros y t en segundos. Determine a que distancia se encuentra la partícula respecto a un observador colocado en el origen, para t = 3 s.


 

Solución:

Evalúe la función vectorial posición para t = 3 s.

 

r ( t = 3s) = 3 * 3 i + 2 * 32 j + 6 * 33 k

 

r(t = 3s ) = 9 i + 18 j + 162 k

Utilice el teorema de Pitágoras extendido a tres dimensiones.

 

r (t = 3s ) = [ 92 + 182 +1622]0,5

r ( t = 3s ) = √26649 = 163,25 m


Respuesta: La partícula en t = 3s se encuentra a 163,265 m del observador ubicado en el origen.

 

La posición de un microser está dada por r(t) = at2 i + b t j + d/t2 k . Determine la dimensionalidad de "a", "b" y "d". donde r está en metros y t en segundos.

 

Solución:

Recuerde que la dimensionalidad de las cantidad de la cinemática, dinámica y energía, se da en TLM ( T: dimensionalidad de tiempo, L : dimensionalidad de longitud y M: dimensionalidad de masa) Además tome encuenta que en una función aditiva todos los miembros deben de ser de igual naturaleza (misma dimensionalidad)

at2 → m , por lo tanto "a" tiene dimensionalidad LT-2.

b t → m, por lo tanto "b" tiene dimensionalidad L T-1.

d / t2 → m, de manera que "d" tiene dimensionalida de L T2.

Respuesta: Las dimensionalidad de "a", "b" y "d" son LT-2, LT-1 y LT2, respectivamente.

 

 

 

 

Sistema de coordenas polares en el plano

Se basada en dos componentes, la radial y la tangencial. Para ello imaginese un círculo centrado en el origen de coordenadas 2D. La compnente radial se considera positiva cuando se aleja del centro del círculo es de cir del origen, mientras que la componente tangencial será positiva cuando la tendencia de giro sea partiendo del eje "x positivo" hacia el eje "y positivo", es decir, el sentido antihorario.

La relación entre las coordenadas polares en el plano y las cartesiana en el plano están dadas por:

X = R cos θ

Y = R sin Θ

donde R es el radio del círculo que describe la trayectoria de la partícula y Θ es el ángulo medido en sentido antihorario respecto al eje "X positivo".

 

 

Ejercicio:

Determine las componentes "x" e "y" de la posición del objeto que se mueve en el círculo. además escriba en coordenadas polar,es la posición de la particula.

a_30

 

 

Solución:

Utilice las definiciones trigonométricas del seno y del coseno para determinar las componentes cartesianas del vector que ubica al objeto en el punto "A".

x = 1 * cos 30º = 0,866 m

y = 1 * sin (30º) = 0,5 m

Respuesta: Las componentes "x" e "y" tienen los valores 0,866 m y 0,50 respectivamente.

Respuesta: La posición de la partícula es 1 m ∠ 30o (radial positiva).

 

Sistema de coordenadas polares cilíndricas

 

 

En este sistema de coordenadas, se tienen tres tipos de componentes "axiales", "radiales " y "tangenciales".

La componente radial es paralela al radio del cilíndro básico sobre el que se construye el sistema de coordenadas polares cilíndricas. Su valor se vuelve más positivo conforme se aleja del centro eje del cilindro imaginario.

La componente tangencial, se basa en la medición de ángulos, es decir tangente al cilindro imaginario y paralelo al eje x-y. Recuerde que los ángulos se miden en el sentido partiendo del eje "x positivo" hacia el "eje y positivo". Es decir, ese sentido corresponde la dirección tangencial positiva.

La componente axial corresponde al eje "z", se mide positivo hacia arriba.

Cilindricas

 La figura anterior muestra el vector r que posee una componente radial positiva y una compnente axial negativa.

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