Saturday, 25 March 2017
Cinemática con gnuplot

Cinemática y gnuplot

La cinemática contiene una serie de variables que tienen un grado alto de dificultad de ser comprendido por los nuevos estudiantes. La representación gráfica es fundamental para ilustrar a  los estudiantes sobre los conceptos básicos de la cantidades de la cinemática. Gnuplot es una excelente herramienta que ayuda en el aprendizaje de la cinemática. Este programa  no está elaborado para resolver automáticamente ningún problema de cinemática. Sin embargo, dado su simplicidad, el estudiante debe estudiar en gran forma para poder resolver gráficamente los problemas de cinemática utilizando gnuplot. Si el estudiante realiza las gráficas, esto será un buen indicador de que el aprendizaje a cumplido su labor. En caso contrario, este deberá revisar de nuevo los conceptos y llevar mediante comandos simples a una representación gráfica el significado de los mismos.
En este artículo se ilustrará al visitante a utilizar gnuplot, de manera que se  refuercen los conceptos de la mecánica. Se enfocarán temas como: tipo de movimiento, significado de áreas de barrido, tasas de cambio, aceleración, velocidad, desplazamiento, etc.


Gráfica de posición en función del tiempo

Para la comprensión de este tema es vital que el usuario lea el artículo de posición.
Para la graficación de la posición a lo largo de una línea recta en función del tiempo, el eje "x" de gnuplot corresponde al tiempo  y se denotará como la variable x. La posición corresponde al eje "y " y no se escribirá, pues se asume que se esta graficando la función "y " en términos de la variable x.

Los comandos básicos son:
- plot : graficar en dos dimensiones.
- set xrange[desde:hasta]: definir el rango de los valores de tiempo de observación.
-set yrange[desde:hasta]: Rango del eje "y".
- set y2range[desde:hasta]: rango del segundo eje "y".
-set y2label "  nonbre": Nombre del segundo eje "y".
- unset key: no presentar leyenda.
- sqrt: raíz cuadrada.
- **; Función potencia ( a la).
- *: operador multiplicación.
- +: operador suma.
- set xlabel "nombre de la variable del eje x"
- set ylabel "nombre de la variable del eje y"
lw #: indica el grosor del tazo, # es un escalar mayor que 1.
font "Tipo, tamaño": Definici{on del tipo de letra y tamaño para los textos.
ytics nomirror: Para no reflejar marcas en el eje y2.
set y2tics: Mostrar números en el eje y2.

Ejemplos de código para graficación usando gnuplot asumiendo un intervalo de observación de t = ]0:30 s[:

a)  Objeto que se mueve con velocidad constante de 20 m/s durante los 30 s, partiendo del origen.  ( X = V*t)

set xrange[0:30]
plot 20*x 
unset key
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Posición (m)"
Velocidad constante

 
b) Se desplaza en forma uniformemente acelerado durante los 30 s  partiendo del origen con  una velocidad inicial de 2 m/s y con una aceleración de 6 m/s2. ( X = Vo * t + 0,5 a * t2 )

set xrange[0:30]
unset key
plot  2*x + 3*x**2
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Posición (m)"
Movimiento uniformemente acelerado



c) Objeto desplazándose con aceleración variable, tal que x = 2*t + 3*t0,5

set xrange[0:30]
unset key
plot 2*x +3*sqrt(t)
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Posición (m)"

Aceleración variable

d) Movimiento compuesto,  para t= ]0:15 s[   x = 20t para t=]15: 30s [ x = -150 + 2 t2.

set xrange[0:30]
unset key
plot (x<15)?20*x:-150 + 2*x**2
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Posición (m)"

Movimiento compuesto

El término (x <15)? es un condicional, luego prosigue la definición de la función para el cual la propuesta es correcta, luego se coloca dos puntos para indicar que se anotará la definición de la función para el caso de que la propuesta sea falsa.

Gráficas de velocidad en función del tiempo

La velocidad es la tasa de cambio de la posición de un objeto al transcurrir el tiempo, o bien, la primera derivada de la posición respecto al tiempo.
Para realizar una gráfica de velocidad en función del tiempo se debe colocar en el eje horizontal los valores de tiempo, que en el caso de gnuplot corresponde a la variable "x". La velocidad como variable dependiente, debe graficarse en el eje vertical, o sea eje "y". En la graficación de una dimensión, en el código gnuplot no aparece la "y", pues se  supone que se está graficando " V vrs t).

A continuación se presentan algunos ejemplos con código de gnuplot, para todos los casos  que se mostrarán se supuso que el tiempo de observación es de 50 s.:
a) Un objeto se mueve con velocidad constante 2 m/s durante los 50 s.

set xrange[0:50]
unset key
plot 2
Velocidad uniforme

b) Un objeto se mueve con aceleración constante de 3 m/s2, partiendo de una velocidad de 5 m/s.  (V = Vo + a * t)

set xrange[0:50]
unset key
plot 5 + 3*x
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Posición (m)"
Aceleración uniforme


c) Un objeto se mueve con aceleración no uniforme tal que V = 3*t + 2*t1,5.

set xrange[0:50]
unset key
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Velocidad (m/s)
plot 3*x +2*x**1.5
Aceleración no uniforme

d) Movimiento compuesto: Un objeto se mueve los primeros 25 s con velocidad constante 10 m/s, luego acelera durante 25 s a 4 m/s2. (  para t <25s V =10 m/s, para t>25s V = -90 +  4*t)

set xrange[0:50]
unset key
set xlabel " Tiempo (s)"
set ylabel "Velocidad (m/s)
plot (x<25)? 10: -90 + 4*x

Movimiento compuesto


Gráficas de aceleración en función del tiempo

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad al transcurrir el tiempo. En las gráficas de gnuplot, el tiempo corresponde al eje horizontal y es denotado por la variable "x", mientras la aceleración corresponde al eje vertical. Nuevamente no se coloca "y" en la ecuación para graficar en gnuplot porque se supone que la fórmula  que se introduce corresponde a la definición de aceleración.

A continuación se presentan algunos ejemplos, donde se ha fijado un intervalo de tiempo de observación desde cero hasta 40 s.

a)  Un objeto se desplaza con aceleración uniforme de 4 m/s2, durante los 40 s.

set xrange[0:40]
set yrange[0:5]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Aceleración (m/s2)"
unset key
plot 4

Aceleración constante


b) Una partícula se desplaza con aceleración variable a = 3t3 durante 40 segundos, cont en segundos y a en m/s2.

set xrange[0:40]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Aceleracion (m/s2)"
unset key
plot 3*x**3 lw 2
Aceleración variable


c) Movimiento compuesto: Un objeto se mueve durante los primeros 20 segundos con aceleración uniforme de 3 m/s2, luego con a = 3*t - 57 durante otros 20 s.

set xrange[0:40]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Aceleración (m/s2)"
unset key
plot (x<20)?3 : 3*x -57  lw 2

Aceleración variable


Desplazamiento (área bajo la curva)

En la gráfica velocidad versus tiempo, el área bajo la curva corresponde al desplazamiento. Si el área se encuentra en la parte superior (arriba del eje horizontal, indica desplazamiento hacia adelante. Por el contrario, si el área bajo curva se encuentra debajo del eje horizontal corresponde a un desplazamiento hacia atrás.

A continuación se muestran algunos ejemplos para un intervalo de observación desde 0 s hasta 60 s.

a) Un objeto se mueve con velocidad constante de 3m/s durante los primeros 30 s y el resto a -5 m/s.

set xrange[0:60]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Velocidad (m/s)"
unset key
plot
(x<30)? 3 : -5  with boxes, (x<30)?3 : -5 with lines lw 2
set label 1 "X = 90 m" at 15, 1 font "Arial,24" center
set label 2 "X = 150 m" at 40,-2  font "Arial,24"
Desplazamiento (àrea)


b) Un objeto se  mueve durante 20 segundo a una velocidad 3 m/s, luego acelera 2 m/s2 durante los otros 40 s.
set xrange[0:60]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Velocidad (m/s)"
unset key

gnuplot> plot  (x<20)? 3 : 3+ 2*(x-20)  with boxes, (x<20)?3 : 3+2*(x-20) with lines lw 2
gnuplot> set label 1 "X = 1780 m" at 40, 20 font "Arial,24" center


Desplazamiento con aceleración

c) Una partícula se desplaza con una velocidad v = 3t2 durante 20s, luego 40s  a  v = 60t, con t medido en segundos.

set xrange[0:60]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Velocidad (m/s)"
unset key

plot  (x<20)? 3*x**2 : 60*x  with boxes, (x<20)?3*x**2 : 60*x with lines lw 2
set label 1 "X = 104000 m" at 40, 1400 font "Arial,24" center


 
Desplazamiento con aceleración variable


Nota: Recuerde que para el movimiento uniformemente acelerado,   V = Vo + a * (t - to)
X = Xo + Vo + 0,5 *a* (t - to)2



 

Cambio de velocidad (área bajo la curva)

El cambio de velocidad es igual a la integral de  la aceleración respecto al tiempo, evaluada desde el tiempo inicial al final, o bien el àrea bajo la curva de la gráfica aceleración contra tiempo. Si el área se ubica arriba del eje horizontal, se tiene que la velocidad toma valores más positivos al transcurrir el tiempo, si el área se encuentra por debajo del eje horizontal su valor se hace menos positivo.

A continuación se presentan algunos ejemplos para un tiempo de observación que va desde cero hasta 30 s.

a) Un móvil se desplaza con aceleración constante de 3 m/s2 durante 30 s.

set xrange[0:30]
set yrange[0:5]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Aceleración (m/s2)"
unset key
set label 1 "D "at 10,1.5 font "Symbol,24"; set label 2 " V = 90 m/s" at  11,1.5 font "Arial,24"

plot 3 with boxes, 3 with lines
Aceleración uniforme


b) Una partícula se mueve durante los primeros 10 segundo a 4 m/s2 y luego a -2 m/s2 durante 20 s.

set xrange[0:30]
set yrange[-5:5]
set xlabel "Tiempo (s)"
set ylabel "Aceleración (m/s2)"
unset key

set label 1 "D "at 1,2.5 font "Symbol,22"; set label 2 " V = 40 m/s" at  2,2.5 font "Arial,22"
set label 1 "D "at 1,2.5 font "Symbol,22"; set label 2 " V = 40 m/s" at  2,2.5 font "Arial,22"
plot (x<10)?4:-2 with boxes, (x<10)?4:-2 with lines
Aceleración variable

Gráficas de movimiento de caída libre

El movimiento de caída libre se realiza a lo largo de una línea vertical, paralela al radio terrestre. Los objetos que son lanzados verticalmente son expuestos a la fuerza de gravedad de la Tierra, para alturas corta smedidas respecto a la superficie terrestre esta fuerza se puede considerar constante. Para efectos de enercicios, en esta sección se tomará g = 9,8 m/s2.

a) Un objeto se deja caer de una altura de 10 m, realize una gráfica  que describa  como varía su altura al transcurrir el tiempo.
set xrange[0:1.43]
set ylabel "Altura (m)" font "Arial,16"
set xlabel "Tiempo (s)" font "Arial,16"
set yrange[0:10]
unset key
plot 10 -4.9*x**2 lw 2




Caída libre

b) Realice la gráfica dela rapidez en función del tiempo del ejemplo anterior.

set xrange[0:1.43]
set ylabel "Rapidez (m/s)" font "Arial,16"
set xlabel "Tiempo (s)" font "Arial,16"
set yrange[0:15]
unset key
plot 9.8*x  lw 2


Rapidez- caída libre



Gráficas de movimiento parabólico

El movimiento de proyectiles o parabólico es un tema obligatorio en los textos de mecánica clásica.  Es un movmiento compuesto, donde en la dirección horizontal se presenta un comportamiento con rapidez constante, mientras que en el eje vertical se presenta un movimiento uniformemente acelerado.
A continuación se presentan algunas ilustracines, en donde gnuplot puede mostrar para ilustrar dicho movimiento.

a) Un objeto es lanzado con una velocidad de 20 m/s, con un ángulo de lanzamiento de 30º. Ilustrar en una gráfica, el comportamiento de alcance horizontal y de la altura que tiene el objeto al trasladarse debido a su movimiento.
 
set xlabel "Tiempo (s)" font "Arial,16"
set ylabel "Altura (m)" font "Arial,16"
set y2label "Alcance (m)" font "Arial,16"
set yrange[0:20]
set y2range[0:20]
set xrange[0:2.05]
plot 10*x -4.9*x**2 lw 2 axes x1y1, 8.66*x axes x2y2 lw 2
set ytics nomirror
set y2tics
unset key
Proyectiles



b) Un objeto es lanzado horizontalmente con una velocidad de 10 m/s, realice la gráfica que contiene la información de alcance horizontal y altura del objeto, para el caso  de un movimiento durante 2 s.

 
set xlabel "Tiempo (s)" font "Arial,16"
set ylabel "Altura (m)" font "Arial,16"
set y2label "Alcance (m)" font "Arial,16"
set yrange[-20:20]
set y2range[-20:20]
set xrange[0:2]
plot  -4.9*x**2 lw 2 axes x1y1, 10*x axes x2y2 lw 2
set ytics nomirror
set y2tics
unset key


Proyectil lanzado horizontalmente







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