Saturday, 25 March 2017
Algebra vectorial
Written by Administrator   

Algebra vectorial


Operaciones básicas
 
 Las operaciones  básicas de vectores son:
  • magnitud de un vector
  • magnificación de un vector
  • adición y resta de vectores
  • vectores unitarios
  • producto escalar
  • producto vectorial
    Observaciones: Cuando observe un término en color rojo, se quiere que usted analice la expresión pues los estudiantes tienden a equivocarse al realizar ciertas operaciones.

Magnitud de un vector
   
La magnitud de un vector se calcula utilizando el teorema de Pitágoras, el cual se aplica para triangulos rectángulos. Los símbolos que se utilizan para indicar tamaño de un vector  son:
  • colocando el vector en medio de las barras de valor absoluto: |a|
  • escribiendo el vector eliminando la negrita: a
El tamaño de un vector de dos dimensiones se calcula como:
a = |a| = (ax2 + ay2)0,5
donde ax y ay son las componentes del vector a

Ejemplo:
  • Calcule la magnitud del vector  a= 3i + 4j.
Solución:
a = |a| = (32 + 42)0,5
a=( 9 + 16 )0,5
a = ( 25 )0,5
a = 5

Respuesta:
La magnitud del vector a es de 5 unidades.

  • Calcule la magnitud del vector b = 3 i -  4 j
Solución:
b= |b| = ( 32 + [-4]2 )0,5
b= ( 9 + 16 )0,5
b= ( 25 )0,5

Respuesta: La magnitud del vector b es de 5 unidades

El tamaño de un vector de tres dimensiones se calcula como:
b = |b| = (bx2+ by2 +bz2)0,5

donde bx, by y bz son son las componentes del vector.
Ejemplos:
  • Calcule la magnitud del vector d = 3 i +2 j + 4 k
Solución:
d = |d| = ( 32 + 22 + 42 )0,5
d = ( 9 +4 + 16 )0,5
d =  ( 29 )0,5
d= 5,39

Respuesta: La magnitud del vector d es de 5,39 unidades.

  • Calcule el tamaño de un vector c = 3 i - 2  - 5 k
Solución:
c = |c| = ( 32 + [-2]2 + [-5]2 )0,5
c = ( 9 + 4 + 25 )0,5
c=  (38 )0,5
c= 6,16

Respuesta: El tamaño del vector c es 6,16 unidades.

 

Magnificación de un vector

    La operación de multiplicar un escalar por un vector genera un nuveo vector cuya inclinación es la misma. El vector original puede magnificarse positivamente incrementando su tamaño o bien reducirse. Puede cambiar su sentido de dirección si el escalar que multiplica al vector es negativo.
    El resultado de la operación de multiplicar un escalar por un vector da un nuevo vector cuyas entradas se multplican por dicho escalar:

Sea r = xi  + y j + z k  y c un escalar
b= c r = bx i + by j + bz k
 
bx = c * x
by = c * y
bz = c * z
La magnitud del vector resultante de una magnificación es igual a : b = c * r

Ejemplos:
  • Sea a = 3 i + 2 j + 5 k, calcule  d = 3 a
Solución:
dx = 3 *  ax = 3 * 3 = 9
dy = 3 * ay = 3 * 2 = 6
dz = 3 * az = 3 * 5 = 15

Respuesta d = 9 i + 6 j + 15 k


  • Sea  b = 4 + 2 j - k , calcule el tamaño de un vector c = 0,5 b.
Solución:
cx = 0,5 * 4 = 2
c = 0,5 * 2 = 1
cz = 0,5 * -1 = -0,5

c = ( 22+ 12+ [-0,5]2 )0,5
c = ( 4  +1 + 0,25 )0,5
c = ( 5,25 )0,5
c = 2,34

Respuesta: La magnitud del vector c es de 2,34 unidades.



Producto escalar

    El producto escalar de dos vectores da como resultado un número real. El producto escalr o producto punto es conmutativo (a . b = b . a). Se indica de la siguiente manera:
a . b = # ( se lee a punto b o bien producto escalar de a por b)

   El valor que da el resultado de la operación producto escalar se determina mediante:
a . b = a *  proyde b sobre a
 o bien
a . b = a * b * cos(ángulo entre los dos vectores)
 y también como
a . b = axbx +  ayby +  azbz

Por lo tanto:



i . i = j . j = k . k = 1
i . j = j . k = i . k = 0
Ejemplos:
  • Calcule el producto punto de los vectores a= 3 i  + 2 - 6 k  y  b= 2 i + 8 j - 3 k.
Solución:
a . b = ( 3 i + 2 j - 6 k) . (2 i + 8 j - 3 k)

a . b = 3 * 2 + 2 * 8 + -6 * -3
a . b = 6 + 16 + 18
a . b = 40
  • Represente graficamente la proyección del vector b sobre a, si a = 3i +2j +5k  y  bi -2 +3k (utilice gnuplot )
Proyeccion vector

Observe en la figura la proyección del vector b sobre el vector a. El vector a está dibujado de color rojizo y la proyección de tono oscuro sobre él.

El código para que gnuplot realice la figura es:

splot "origen3d"
set yrange[-5:10] 
set xrange[-5:10]
set zrange[-5:10] 
set arrow 1 from 0,0,0 to 3,2,5 lt 4
set arrow 2 from 0,0,0 to 1,-2,3 lt 6   
set arrow 3 from 0,0,0 to 1.82,1.21,3.03 lt 7 
replot

Producto vectorial

   
El producto vectorial o producto cruz, es una operación entre vectores cuyo resultado dá un nuevo vector. Este vector es perpendicular a aquellos que lo generaron.
    La representación de la operación producto cruz es:
 
a x b = c
donde:
a es perpendicular a c
b es perpendicular a c.

    Lo anterior se puede analizar mediante la regla de la mano derecha en donde el pulgar apunta en la dirección del primer vector, el índice en la dirección del segundo y los otros tres dedos apuntan enla direción del vector resultante. La aplicación de la mano derecha implica el ubicar los dedos anteriormente mencionados, uno perpendicular al otro. Tanto el índice como el pulgar se mantienen estirados, y los otros tres dedos formando una escuadra con los dos primeros.
    En el sistema cartesiano se cumple que i x j = k.


   
Por definición | a x b | = a * b * seno(ángulo entre los vectores)

    El producto cruz es anticonmutativo, es decir: a x b = - b x a
   
En el producto vectorial se cumple:
  •  i  x  = x  j = k  x  k = 0
  • i x j = k
  • j x k = i
  • k x i = j
  • j x i = -k
  • k x j = -i
  • i x k = -j
El producto cruz de a x b se puede calcular con el determinante de:

alt
    También puede ser calculado al multiplicar cada una de las entradas del primer vector por todas las componentes del segundo vector, aplicando las definiciones arriba mencionadas.
    Normalmente el producto vectorial se utiliza para calcular vectores área y también puede aparecer en ecuaciones relacionadas con tendencia a rotación, por jemplo: momentum angular y torque
s.
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