Sunday, 28 May 2017
Cálculo diferencial en vectores

Cálculo diferencial e integral en vectores

Los vectores son cantidades complejas que  están definidas por una magnitud y una dirección. El tratamiento de estas cantidades resulta ser complejo para la mayoría de los estudiantes, por lo cual, este artículo trata de servir de base para la utilización del cálculo diferencial e integral en vectores.

Concepto de diferencial en cantidades vectoriales

Las cantidades diferenciales se reconocen porque les colocan una "d" minúscula al inicio. Su significado se expllicará en base a las siguientes descripciones:
  • Diferencial de  masa (dm):  Es la masa contenida en el volumen más pequeño posible, dentro de un cuerpo. La densidad  de la masa puede variar punto a punto dentro del volumen del objeto, por ello, el dm puede ser rescrito en términos de variables asociadas a dicha densidad y a la geometría del objeto.
  • Diferencial de longitud (dL): La distancia mínima posible entre dos punto de una línea real o imaginaria. Por lo general, si la línea es una recta horizontal se indica como un "dx", un fragmento diferencial de longitud paralela al eje "x". Si la línea es recta pero perpendicular al eje "x", es decir paralela al eje "y", el diferencial de longitud es un "dy", es un fragmento diferencial de longitud paralela al eje "y". Si es una línea recta oblicua, el diferencial de longitud es (dx2 + dy2 )0,5.
  • Diferencial de vector posición (dr):  Es un vector de tamaño diferencial que es paralelo al vector original. En otras palabras, es el vector que se obtiene al cortar un  vector  en infinito número de partes.
  • Diferencial de carga eléctrica (dq):  Es la carga contenida en un diferencial de volumen que pertenece a un  cuerpo cargado electricamente.
  • Diferencial de fuerza (dF): Es una cantidad vectorial de magnitud diferencial.
  • Diferencial de arco circular (Rdθ): Es una cantidad escalar cuyo largo corresponde a un diferencial de arco de radio R cuando subtiende un ángulo diferencial.


Integración de diferenciales de cantidades vectoriales

La integración diferencial de un vector dá por resultado otro vector. La operación se indica con el símbolo de integral "", el cual se parece a una letra ese aplastada.
La operación de integración obliga  a la utilización límites de integración, uno superior y otro inferior.

b  :  El límite de integración superior   es el vector b. Observe que se coloca en la parte de arriba.

a : El límite de integración inferior es el vector a. Observe que se sitúa en la parte inferior.

Para ilustrar el uso de los límites de integración se resolverá el siguiente ejercicio, que corresponde a una integración a lo largo del eje x.

Ejemplo:

Determine los límites de integración de la masa de una barra, cuya densidade depende de los valores de posición horizontal medidos desde la posición del observador. Suponga que la longitud de la barra es L

Barra horizontal


Solución:
En la posición "P" se encuentra el observado, por lo cual ese punto corresponde al origen. Se debe recordar que la recta numérica se barra de izquierda a derecha. Por lo tanto:
  • La posición más a la izquierda, esdecir, donde inicia la barra corresponde al valor de x = -L.
  • La posición más ala derecha de la barra corresponda al origen, es decir x = 0.
Respuesta: El límite de integración inferior es x = -L  y el límite de integración superior es  x = 0.
Retome el problema anterior y determine los límites de integración para el desplazamiento de un objeto que parte del extremo izquierdo de la barra y llegue hasta la posición donde se encuentra el dm.

Solución:


Para ello, ubique la posición inicial para dicho desplazamiento y la posición final:
  • La posición inicial corresponde a  ro = -L i.
  • La posición final corresponde  a rf = 0 i.
Respuesta: Los límites de integración de " ∫ dr " es desde ro = -L i  como límite inferior, hasta rf = 0 i como límite superior.



Nota: Para el caso de polares en el plano, no olvide que la integración respecto al ángulo debe realizarse en sentido antihoriario, a partir del eje x positivo. Recuerde que los ángulos deben medirse en radianes.
También recuerde que la recta numéŕica en posición vertical debe barrerse de abajo hacia arriba.


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