Thursday, 27 July 2017
Cinemática angular

Cinemática angular

La cinemática angular o de la rotación describe el movimiento de los cuerpos en trayectorias que forman arcos, sin importar las causas. Está constituida por un conjunto de ecuaciones matemática que se interrelacionan. Utilizan los conceptos de velocidad, desplazamiento, posición y aceleración angular.


Posición y desplamiento angular

Cuando partícula se desplaza a lo largo de un círculo su posición queda toalmente identificada por su ángulo. Es importante recordar que en el plano x-y, el ángulo se mide en sentido antihorario partiendo del eje x positivo. La posición angular se mide en radianes, si se indica su posición en grados debe utilizarse la igual de  que pi radianes es igual 180º.

Ejemplo:
Un objeto que se mueve en una trayectoria circular,  se encuentra a 30º respecto al eje x positivo, indique su posición angular en radianes.

Solución:
ø = 30 º

Ø = 30º * pi rad / 180 º
Ø = Pi /6 rad
Respuesta: La posición angular es pi/6 rad.



El desplazamiento angular  es el cambio de posición  angular que ha realizado una partícula, e puede calcular como:

Δϑ  = ϑfinal - ϑinicial

En el caso de un cambio que tienda a cero se habla de un diferencial de posición angular o cambio de diferencial de posición angular, que se indica como dϑ.
El desplazamiento angular se mide en radianes.


Velocidad angular

La velocidad angular es la tasa de cambio de la posición angular de un partícula al transcurrir el tiempo, se mide en rad/s. Existen dos tipos de velocidad angular, la instántanea (para un tiempo determinado)  y la media para un intervalo de tiempo. La velocidad angular se indica con la letra omega (ω).
La velocidad angular instantánea se calcula mediante:
ω = d ϑ  /dt
Ejemplo:

Una partícula  se mueve a lo largo d euna trayectoria circular de tal manera que su posición angular es dada por
ϑ  = 3 t + t2. Calcula la velocidad angular para t = 5 s.

Solución:
Para resolver el problema primero se deriva la expresión de la posición angular.
ω  = d( 3 t +t2) /dt
w = 3 + 2t

Luego se procede a evaluar la función en el tiempo deseado.

 
ω  = 3 + 2*5 = 13 rad/s

Respuesta: La velocidad angular de la partícula para t = 5 s es 13 rad/s.


Una particula se mueve en una trayectoria circular, cuya posición angular es da por  ϑ  = 3 t + t2.. Calcule la velocidad angular media para el intervalo t = ]3, 5 s[.

Solución:

ω = Δϑ/Δt

Evalúe la función de posiciónangular para los valores extremos del intervalo de tiempo.
ϑinicial = 3 *3 +3218 rad

ϑfinal = 3*5 +52 = 40 rad

Aplique la fórmula de velocidad angular media.

ω = [ 40 - 18 ]/ [5- 3] rad/s =  11 rad/s

Respuesta: La velocidad angular media para el intervalo t = ]3,5 s[ es 11 rad/s



Aceleración angular

La aceleración angular (α) es la tasa de cambio de la velocidad angular al transcurrir el tiempo, se mide rad /s2. Hay dos tipos de aceleraciónangular, media e instantánea. La aceleración instantánea se calcula como la derivade la velocidad angular respecto al tiempo:

α = dω /dt
La aceleración angular media se calcula para un intervalo de tiempo como:
α = Δω/Δt

Ejemplo:
Una partícula  se desplaza a lo largo de un arco circular  con una velocidad angular dada por 
ω = t2 + t . Calcule: a) la aceleración angular para t = 2 s y b) la aceleraci´on media para el intervalo t = ]0, 2 s[.

Solución:
a)
Aplique la primera derivada a la función velociad angular y evalúe.

α = d ( t2  + t ) / dt =  2t + 1
α = 2 *2   + 1 = 5 rad/s2

Respuesta: La aceleración angular para t = 2 s es 5 rad/s2.

b) Aplique la fórmula para la determinación del valor promedio de la aceleración.
ωinicial = 0
ωfinal = 22 + 2 = 6 rad/s
α = [  6 - 0 ] /2 = 3 rad/s2.

Respuesta: La aceleración media para el intervalo t =  ]0, 2 s[ es  3 rad/s2.





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