Wednesday, 26 April 2017
Unidades y dimensionalidad

Unidades patrón

Las unidades patrón también son conocidas como unidades de medida, deben cumplir ciertas características:
  •  Ser inalterable: No debe cambiar ni con el tiempo   ni ser  dependiente del observador.
  • Ser universaL: indica que debe ser aceptada por todos los países.
  • Ser fácilmente reproducible: Que se reproduzca fácilmente para poder ser utilizada por todos.
En el año 1960 en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas se adoptó un sistema de unidades universal que es el empleado actualmente. Las unidades básicas de este sistemas on:
  • metro:  es igual a la longitud recorrida  por la luz en vacío durante  1/ 299.792.458 segundos (1983).
  • kilogramo:  es el equivalente a la masa de un bloque de platino e iridio que se resguarda en Paris.
  • Segundo:  es el equivale a la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación de transiciones del cesio 133.
Aparte de las unidades antes mencionadas se encuentran: amperio,  kelvin, mol, candela, radián, etc.



Dimensionalidad

Las unidades básicas son las relacionadas con :longitud, masa y tiempo. Muchas cantidades compuestas derivan de combinatoria de las mismas. A la unidad de longitud se le indica dimensionalidad "L", mientras a la demasa "M" y a la de tiempo "T".
Existen gran cantidad de unidades como:  voltio, ampere,  Hertz, Newton,  tesla, webber, vatio, julio, etc. Todas ellas provienen de tratamiento de cálculo utilizando ecuaciones. Para ilustrar el uso de la dimensionalidad, analice el caso del julio. Esta es una unidad de energía, que puede ser calculada  mediante de la fórmula de trabajo, es decir fuerza por distancia. La fuerza se mide en newton y la distancia en metros. La fuerza puede ser calculada como masa por aceleración, donde la masa se mide en kilogramos y la aceleración es caculado mediante una fórmula cuya unidad es metros sobre segundo al cuadrado. Resumiendo:
 
 julio = newton  x metro
newton = kg x m/s2
Por lo tanto:
julio = kg  x ( m /s 2) x m = kg x m2 / s2

De manera que la dimensionalidad del julio es: M L2T-2.


La posición de un microser está dada por r(t) = at2 i + b t j + d/t2 k . Determine la dimensionalidad de "a", "b" y "d". donde r está en metros y t en segundos.

 

 

Solución:

 

Recuerde que la dimensionalidad de las cantidad de la cinemática, dinámica y energía, se da en TLM ( T: dimensionalidad de tiempo, L : dimensionalidad de longitud y M: dimensionalidad de masa) Además tome encuenta que en una función aditiva todos los miembros deben de ser de igual naturaleza (misma dimensionalidad)

 

at2 → m , por lo tanto "a" tiene dimensionalidad LT-2.

 

b t → m, por lo tanto "b" tiene dimensionalidad L T-1.

 

d / t2 → m, de manera que "d" tiene dimensionalida de L T2.

 

Respuesta: Las dimensionalidad de "a", "b" y "d" son LT-2, LT-1 y LT2, respectivamente.




Conversiones

Durante la solución de problemas de Física y química es común la realización de conversiones de unidades. Esto se ha convertido en un tema que a muchas personas de gran complejidad. Existen varias formas de realizar conversiones aqúi se explicará una de ellas, esta se basa en la multiplicación por uno. La multiplicación por uno, consiste en multiplicar y dividir entre dos cosas equivalentes, por ejemplo para el caso de  unidades de longitud:
  • 1 =  1 m / ( 1m) .
  • 1 = 100 cm / (1m)
  • 1 = 1000 mm / (1 m)
  • 1 = 1000 mm / ( 100 cm)
  •  1 = 1000 000 000 nm / ( 1 m)
Para ilustrar estas conversiones de longitud analice los siguientes ejercicios:

Ejercicios:

La longitud de una barra es de 30 cm, exprese dicha longitud en milimetros.

Solución:
L = 30 cm
1 c m = 10 mm
L = 30 cm  x [ 10 mm] / ( 1 /cm) = 300 cm x mm/ cm

 
Observe que centímetros cancela a centímetros por lo cual la longitud queda en mm.
Respuesta: L = 300 mm.

Se tiene una cuerda de 1300 mm de longitud, exprese la longitud de la cuerda en dm.

Solución:

L = 1300 mm
 1 dm = 100 mm
L = 1300 mm x [ 1 dm ] / ( 100 mm)
 L = 13  mm x dm / mm

Milímetros cancela milímetros , quedando de unidad dm.
L = 13 dm

Respuesta:  La longitud de la cuerda 13 dm.

 
En el caso de las unidades de masa  la conversión se puede realizar también multiplicando por 1, por ejemplo con :
  •  1 = 1 kg / kg
  • 1 = 1000 g /kg
  • 1 = 10000 dg /kg
  • 1 = 1 000 000 mg / kg
  • 1 = 1 lb / ( 454 g)
Para ilustrar el uso de conversiónes de unidades de masa utilizando la multiplicación por 1, se indican varios ejercicios a continuación.

Ejercicios:

 Una rosa posee una masa de 30 g, exprese su masa en miligramos.

Solución:

m = 30g
 1 g = 1000 mg
m = 30 g * [ 1000 mg] /  1 g
 m = 30 000 g * mg / g
Observe que g cancela a gramo de manera que:
m = 30 000 mg
Respuesta: La masa de la rosa es de 30 000 mg.

Una tuerca de tractor tiene una masa de 1500 g, exprese su masa kilogramos.

Solución:

m = 1 500 g
 1 kg = 1000 g
m = 1 500 g   x [ 1 kg ] / (  1000 g)
 m = 1,5  g x kg / g
Observe que gramo cancela a gramo, por lo tanto:
 M = 1, 5 kg.

Respuesta: La masa de la tuerca es de 1,5 kg.
 

 Una pelota posee una masa de 3,5 libras, indique su masa en gramos.

Solución:

m = 3,5 libras
 1 libra =  454 g

 
m = 3,5 lb  x [ 454 g ] /  (1 lb)
 
 m =  1589 lb x g / lb
 
Observe que libra cance a libra, por lotanto:
 
m = 1589 g

Respuesta: La masa de la pelota es de 1589 g.

 

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