Saturday, 18 November 2017
Cambio de variable

Cambio de variable

En muchas ocasiones se desea resolver o analizar una ecuación pero por su forma esta es muy compleja, debido a ello, es muy útil reescribirla en términos de unas nuevas variables que permiten analizar una función más simple. Este proceso de reescritura de las ecuaciones es denominado cambio de variable, es decir, que el cambio de variable es el proceso mediante el cual una ecuación se simplifica para su análisis o solución. Para ilustrar este proceso se presentan varios ejemplos:
  • Ecuación de una función potencial, es decir, dela forma y = A xn.
La ecuación anterior, es en sí muy simple, pero es más fácil analizar una función de la forma v = m z. Un cambio de variable podría ser:
v = y z = xn con m igual a una constante.
Para aclarar este cambio de variable, se va ha utilizar la siguiente tabla.

Tabla A1. Conjunto de valores iniciales de una relación y directamente proporcional a x3.

Valor de x Valor de y
0 0
1 2
2 16
3 54
4 128
 

Si se utiliza el siguiente cambio de varialbe: V = y Z = x3, se obtiene la siguiente tabla.

Tabla A2. Conjunto de datos calculados utilizando el cambio de variable ( V, Z).

Valor de Z Valor de V
0 0
1 2
8 16
27 54
64 128


Tanto la tabla A1 como A2 muestran que cuando Z o x crecen, y o V también lo hacen, pero al realizar la gráfica de ambos se notará una gran diferencia.

Figura A1. Valores de y en función de x para una relación potencial (y = c X3)

datos iniciales

Figura A2. Valores de V en función de Z (cambio de variable).

Datos de cambio de variable

Al analizar el comportamiento de las gráficas A1 y A2, se puede observar que la forma de la curva mostrada en la figura A2 es más simple que la de A1. De manera, que para realizar análisis del comportamiento de los datos u obtener algún valor a partir de los coeficiente de regresión, los datos del cambio de variable son los más adecuados.
  • Se tiene una función de la forma y = A cos(x), donde las variables son x e y.
Para este caso, se recomienda el siguiente cambio de variable ( V = m Z):
V = y Z = cos(x) M es la constante de proporcionalidad.
  • Se tiene una función exponencial, de la forma y = A ebx, donde las variables son x e y.
Para este caso se recomienda el siguiente cambio de variable (V = m Z):
V = ln (y) Z = x m es la constante de proporcionalidad.
  • Ahora una función del tipo y = a + b ln(x), donde las variables son x e y.
El cambio de variable recomendado es ( V = p + c Z):
V = y Z = ln(x) p = pendiente de la relación linealizada y a la intercepcióncon el eje vertical de la relación linealizada.
  • Para el caso de una relación y = a + b / x, donde las variables son x e y.
En este caso se recomienda el siguiente cambio de variable ( V = p + c Z):
V = y Z= 1/ x c es la pendiente de la relación linealizada y p su intercepción.
  • Se tiene una relación de la forma y = a / x2. donde las variables son x e y.
Se recomienda el siguiente cambio de variable ( V = m Z):
V = y Z = 1/ x2 m es la pendiente de la relación linealizada de las nuevas variables.
  • Se tiene una relación dela forma y = a x0.5, donde las variables son x e y.
Para este caso, el cambio de variable propuesto podría ser ( V = m Z):
V = y Z = x0.5 m es la pendiente de la relación linealizada de las nuevas variables.
  • Para el caso de una relación y = A x2 + Bx, donde las variables son x e y.
Se recomienda el siguiente cambio de variable (V = m Z + d):
V = y / x Z = x donde m es la pendiente de la relación de linealizada de las nuevas variables y d su intercepción.
  • Se tiene una relación de la forma y = A [ (bx2 + m)/g x]2, donde las variables son x e y.
Se puede utilizar el siguiente cambio de variable ( V = k Z + q):
V = (y)0.5 x Z = x2 donde k es la pendiente de la relación linealizada y q su intercepción con el eje vertical.
 
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